Stabilire se la matrice è diagonalizzabile e...

[smaug1]

$A = ((1,1),(2,2))$

$p_A(\lambda) = \lambda (\lambda - 3) = 0$

Quindi gli autovalori sono $\lambda_1 = 0$ e $\lambda_2 = 3$ entrambi con molteplicità algebrica 1 e quindi gli autospazi relativi sono di dimensione 1. Ergo la matrice è diagonalizzabile.

Ho trovato una base per ciascun autospazio:

E(0)

$((x_1),(x_2)) = ((1),(2))t$

E(3)

$((x_1),(x_2)) = ((1),(2))t $

Ora unendo le basi degli autospazi ho che $M = ((-1,1),(1,2))$

e ora la matrice diagonalizzata si trova facendo $D = M^-1AM$ ?

Il mio libro non è chiarissimo su questo...dovrebbe essere $M^-1 = ((-2/3,1/3),(1/3,-2/3))$

Grazie mille

[weblan]

La matrice inversa $M^-1$ non è quella.

Cosa intendi con

E(0)

$((x_1),(x_2)) = ((1),(2))t$

E(3)

$((x_1),(x_2)) = ((1),(2))t $

Più in generale cosa chiedi?

[smaug1]

io intendo con quelle cose le basi dei sottospazi relativi a quei autovalori...

[weblan]

Una base relativa all'autospazio $V_0$ è data dal vettore $(-1,1)$

Una base relativa all'autospazio $V_3$ è data dal vettore $(1,2)$


Con tutta la buona volontà però in quelle relazioni non vedo nessuna base di autovettori.

Forse volevi scrivere:

$E_0$
$((x_1),(x_2)) = ((-1),(1))t$

$E_3$

$((x_1),(x_2)) = ((1),(2))t $

Hai trovato le basi, hai trovato la matrice $M=((-1,1),(1,2))$, la matrice $M^-1=((2/3,-1/3),(1/3,1/3))$ (vedi che in quella da te postata c'è un errore.
Quali sono le tue perplessità?

[smaug1]

Grazie, quindi ora posso trovare la ia matrice diagonale D?

$D = M^-1 A M$ giusto?

[weblan]

Ma non bisogna trovare nessuna matrice $D$.
Se tutto è svolto bene $M^-1AM=D=((0,0),(0,3))$, insomma nella matrice $D$ sulla diagonale principale ci sono gli autovalori.

[smaug1]

"weblan":Ma non bisogna trovare nessuna matrice $D$.
Se tutto è svolto bene $M^-1AM=D=((0,0),(0,3))$, insomma nella matrice $D$ sulla diagonale principale ci sono gli autovalori.

Grazie mille per il chiarimento