Stabilire se è un sottospazio

[liam-lover]

"(i) Si stabilisca se nello spazio vettoriale M2(R) delle matrici 2x2 su R il sottoinsieme:

$ {A€M_2(R): A(A)^(t)=( ( -1 , 0 ),( 1 , 0 ) ) }uu{( ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) ) } $

è o meno un sottospazio.

(ii) Sempre nello spazio vettoriale M2(R), si determini una base B per il sottospazio:

$ H=L[( ( 1 , 2 ),( -2 , 1 ) )( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) ) ( ( 2 , 0 ),( 1 , 3 ) ) ( ( 0 , -1 ),( 3 , 0 ) ) ( ( 2 , 1 ),( -2 , 3 ) ) ] $

si stabilisca se il vettore $ ( ( 4 , 1 ),( -1 , 6 ) ) $ appartiene o meno ad H e, in caso affermativo, se ne determinino le componenti rispetto alla base B."



Sul primo punto ho dei dubbi.

(i) La matrice nulla appartiene al sottoinsieme.
Prese due matrici A e B tali che $ A(A)^(t)=( ( -1 , 0 ),( 1 , 0 ) ) $ e $ B(B)^(t)=( ( -1 , 0 ),( 1 , 0 ) ) $, devo verificare che per (A+B) valga:

$ (A+B)(A+B)^(t)=( ( -1 , 0 ),( 1 , 0 ) ) $

cioè

$ (A+B)(A+B)^(t)=A(A^t) + A(B^t) + B(A^t) + B(B^t) $ deve essere uguale a $ ( ( -1 , 0 ),( 1 , 0 ) ) $.

Ora, se fosse una semplice somma tra $ A(A^t) $ e $ B(B^t) $ andrebbe bene, però ci sono i termini $ A(B^t) $ e $ B(A^t) $, quindi non è un sottospazio. Giusto?


(ii) Una base è $ B ={( ( 1 , 2 ),( -2 , 1 ) )( ( 2 , 0 ),( 1 , 3 ) )( ( 2 , 1 ),( -2 , 3 ) )} $.

Il vettore $ ( ( 4 , 1 ),( -1 , 6 ) ) $ appartiene ad H perché il determinante della matrice che ha per colonne i vettori della base B e quest'ultimo ha determinante 0.

Le componenti del vettore rispetto a B sono (0, 1, 1).

[cooper1]

"maxira":"(i) Si stabilisca se nello spazio vettoriale M2(R) delle matrici 2x2 su R il sottoinsieme:

mi sembra vada bene. potevi anche notare che le equazioni che definiscono il sottospazio non sono lineari

"maxira":(ii) Sempre nello spazio vettoriale M2(R), si determini una base B per il sottospazio:

non posso fare i conti, quindi: come ci sei arrivat*? prova a dirmi il procedimento, che i conti possono essere sbagliati anche solo per distrazione.