Stabilire se C è piana o sghemba

[Skuld]

Qualcuno potrebbe vederse ho risolto correttamente il seguente esercizio ?

Data la curva $C:$ $($x=t^3$ , $y=t^2-2t+1$ , $z=2t-1$)$ stabilire se C è piana o sghemba.

Allora sappiamo che una curva è sghemba se non appartiene a un piano , ovvero se le quattro costanti sono nulle.

Procedo nel seguente modo.

Se esiste un piano ax+by+cz+d=0 che contiene la curva , deve essere per qualunque t :

$a(t^3)+b(t^2-2t+1)+c(2t-1)+d=0$

cioè :

$at^3+bt^2+t(-2b+2c)+b-c+d=0$

ciò è possibile se :

$a=0 b=0 -2b+2c=0 b-c+d=0$

cioè se pongo per esempio (in questo punto mi perdo, non capisco se i valori di a , b , c ,d sono scelti a caso) . Inoltre ,

$a=0, b=0, c=1, d=1$

se sostituisco nel piano , ottengo che almeno una della costanti risulta non nulla, ciò implica che si tratta di una curva piana e non sghemba.

[Steven11]

Devono valere contemporaneamente
[tex]$a=0$[/tex]
[tex]$b=0$[/tex]
[tex]$-2b+2c=0$[/tex]
[tex]$b-c+d=0$[/tex]

Insomma, è come risolvere il sistema e vedere se viene assurdo o no.
In questo caso se sostituisci [tex]$b=0$[/tex] nella terza hai anche [tex]$c=0$[/tex].
Sostituendo queste due nella quarta hai anche [tex]$d=0$[/tex]

Ti torna?

[Skuld]

si , ora ho capito. A volte mi perdo in un bicchier d'acqua.
Grazie

[franced]

Un modo alternativo:

una curva è piana se la torsione è identicamente nulla.

[Dimitrileone]

quindi in definitiva come va risolto interamente correttamente?