Stabilire per quali K app. ad R due rette sono complanari
Salve, ho un problema con questo esercizio che mi chiede di stabilire per quali parametri \(\displaystyle K \in \mathbb{R} \) due rette sono complanari, le rette sono:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x+y+2z = 1 & & \\
x-y = 0 & &
\end{matrix}\right. \)
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x+y+z = 0 & & \\
3x+y+kz = 1 & &
\end{matrix}\right. \)
Ora, se ciò che ho capito è corretto io dovrei scrivere la matrice completa del sistema a quattro equazioni che viene fuori unendo i due sistemi e poi devo effettuare la riduzione a gradini, l'unico mio problema è il parametro K, come mi comporto durante la riduzione?
La matrice completa mi viene così: (I numeri a destra di | sono i numeri a destra dell'uguale)
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
1& 1& 2& |1\\
1& -1& 0& |0\\
1& 1& 1& |0\\
3& 1& k& |1
\end{pmatrix} \)
Provando ad iniziare a ridurre ho fatto Riga2 = Riga2 - Riga1, Riga3 = Riga3 - Riga1, Riga4 = Riga4 - 3*Riga1 ma non penso che il passaggio per ridurre la Riga4 sia corretto, la matrice viene così:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
1& 1& 2& |+1\\
0& -2& -2& |-1\\
0& 0& -1& |-1\\
0& -2& k-6& |-2
\end{pmatrix} \)
Qualcuno ha qualche consiglio da darmi? Vorrei capire come trattare K nella riduzione, grazie
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x+y+2z = 1 & & \\
x-y = 0 & &
\end{matrix}\right. \)
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x+y+z = 0 & & \\
3x+y+kz = 1 & &
\end{matrix}\right. \)
Ora, se ciò che ho capito è corretto io dovrei scrivere la matrice completa del sistema a quattro equazioni che viene fuori unendo i due sistemi e poi devo effettuare la riduzione a gradini, l'unico mio problema è il parametro K, come mi comporto durante la riduzione?
La matrice completa mi viene così: (I numeri a destra di | sono i numeri a destra dell'uguale)
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
1& 1& 2& |1\\
1& -1& 0& |0\\
1& 1& 1& |0\\
3& 1& k& |1
\end{pmatrix} \)
Provando ad iniziare a ridurre ho fatto Riga2 = Riga2 - Riga1, Riga3 = Riga3 - Riga1, Riga4 = Riga4 - 3*Riga1 ma non penso che il passaggio per ridurre la Riga4 sia corretto, la matrice viene così:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
1& 1& 2& |+1\\
0& -2& -2& |-1\\
0& 0& -1& |-1\\
0& -2& k-6& |-2
\end{pmatrix} \)
Qualcuno ha qualche consiglio da darmi? Vorrei capire come trattare K nella riduzione, grazie
Risposte
Idea:
Trasforma le due rette in forma parametrica: trova la loro direzione e un punto che appartiene alle rette.
La prima ha direzione parallela a $(1,1,-1)$ e passa per il punto $(0,0,\frac{1}{2})$
La seconda ha direzione parallela a $(k-1, 3-k, -2)$ e passa per il punto $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$
Le due rette hanno allora le seguenti equazioni parametriche:
\(r_1 = \begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = \frac{1}{2} - t\end{cases} r_2 = \begin{cases} x = \frac{1}{2} +(k-1)t \\ y = -\frac{1}{2} + (3-k)t \\ z = -2t\end{cases}\)
Le rette sono complanari se lo sono le loro direzioni, e un qualsiasi vettore che congiunge la prima retta alla seconda. Un vettore del genere è dato ad esempio da $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$. Questa condizione si impone ponendo il loro prodotto misto a 0, cioè
\(det\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ k-1 & 3-k & -2 \\ 1 & 1 &-1 \end{array}\right) = 0 \to 3-k = 0 \to k = 3\)
Trasforma le due rette in forma parametrica: trova la loro direzione e un punto che appartiene alle rette.
La prima ha direzione parallela a $(1,1,-1)$ e passa per il punto $(0,0,\frac{1}{2})$
La seconda ha direzione parallela a $(k-1, 3-k, -2)$ e passa per il punto $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$
Le due rette hanno allora le seguenti equazioni parametriche:
\(r_1 = \begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = \frac{1}{2} - t\end{cases} r_2 = \begin{cases} x = \frac{1}{2} +(k-1)t \\ y = -\frac{1}{2} + (3-k)t \\ z = -2t\end{cases}\)
Le rette sono complanari se lo sono le loro direzioni, e un qualsiasi vettore che congiunge la prima retta alla seconda. Un vettore del genere è dato ad esempio da $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$. Questa condizione si impone ponendo il loro prodotto misto a 0, cioè
\(det\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ k-1 & 3-k & -2 \\ 1 & 1 &-1 \end{array}\right) = 0 \to 3-k = 0 \to k = 3\)
"iTz_Ovah":
Idea:
Trasforma le due rette in forma parametrica: trova la loro direzione e un punto che appartiene alle rette.
La prima ha direzione parallela a $(1,1,-1)$ e passa per il punto $(0,0,\frac{1}{2})$
La seconda ha direzione parallela a $(k-1, 3-k, -2)$ e passa per il punto $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$
Le due rette hanno allora le seguenti equazioni parametriche:
\(r_1 = \begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = \frac{1}{2} - t\end{cases} r_2 = \begin{cases} x = \frac{1}{2} +(k-1)t \\ y = -\frac{1}{2} + (3-k)t \\ z = -2t\end{cases}\)
Le rette sono complanari se lo sono le loro direzioni, e un qualsiasi vettore che congiunge la prima retta alla seconda. Un vettore del genere è dato ad esempio da $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$. Questa condizione si impone ponendo il loro prodotto misto a 0, cioè
\(det\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ k-1 & 3-k & -2 \\ 1 & 1 &-1 \end{array}\right) = 0 \to 3-k = 0 \to k = 3\)
Quindi mi consigli di passare sempre alle equazioni parametriche? In effetti visto così l'esercizio è molto più semplice, ora ci provo da solo, grazie mille! Se poi ho bisogno d'aiuto scrivo
Secondo me procedendo così viene più "liscio" come esercizio, e ci sono meno possibilità di sbagliare (ergo meno calcoli).
Ho una domanda, posso arrivare alle equazioni parametriche dalle equazioni cartesiane senza calcolare direzione e punto per cui passa la retta? Perché ci sto provando e la prima sono riuscito a trovarla, la seconda mi da qualche problema in quando z ed x mi vengono diverse rispetto a quella trovata da te mentre y è uguale
Come trovi i due punti per i quali passano le rette? Le direzioni le ho trovate, mi mancano i punti
Come trovi i due punti per i quali passano le rette? Le direzioni le ho trovate, mi mancano i punti
L'equazione parametrica di una retta non è unica, ne esistono $oo^2$ per ciascuna retta (hai due gradi di libertà: la direzione e i punti per cui passa). Per trovare un punto per cui passa la retta basta mettere una delle tre incognite ad un valore fissato e risolvere il sistema per le rimanenti 2. Per la prima ho messo $x = 0$ e risolto per $y,z$. Nella seconda ho messo $z=0$ in modo da trovarmi un punto che non dipenda da $k$, e risolto per $x,y$.
Dati i punti e le direzioni sai anche tu come si scrive una equazione parametrica.
Dati i punti e le direzioni sai anche tu come si scrive una equazione parametrica.
"iTz_Ovah":
L'equazione parametrica di una retta non è unica, ne esistono $oo^2$ per ciascuna retta (hai due gradi di libertà: la direzione e i punti per cui passa). Per trovare un punto per cui passa la retta basta mettere una delle tre incognite ad un valore fissato e risolvere il sistema per le rimanenti 2. Per la prima ho messo $x = 0$ e risolto per $y,z$. Nella seconda ho messo $z=0$ in modo da trovarmi un punto che non dipenda da $k$, e risolto per $x,y$.
Dati i punti e le direzioni sai anche tu come si scrive una equazione parametrica.
Ok, ci sono! Grazie mille per l'aiuto
Ok ho un'ultima domanda, come trovo il vettore che congiunge entrambe le rette?
Assegnato una generica coppia di punti dello spazio: $P(x,y,z)$ e $Q(x_0, y_0, z_0)$ come trovi il suo rappresentante applicato nell'origine? Io suggerirei come $P-Q=(x-x_0, y-y_0,z-z_0)$. Se scegli $P\inr_1$ e $Q\inr_2$ hai un vettore che congiunge le due rette.
"iTz_Ovah":
Assegnato una generica coppia di punti dello spazio: $P(x,y,z)$ e $Q(x_0, y_0, z_0)$ come trovi il suo rappresentante applicato nell'origine? Io suggerirei come $P-Q=(x-x_0, y-y_0,z-z_0)$. Se scegli $P\inr_1$ e $Q\inr_2$ hai un vettore che congiunge le due rette.
Quindi se ho capito devo sottrarre X0 di R' ad X0 di R, Y0 di R' ad Y0 di R, Z0 di R' a Z0 di R?
Un punto di $r_1$ era $(0,0,\frac{1}{2})$, chiamalo per esempio $Q$; un punto su $r_2$ era $(frac{1}{2}, -frac{1}{2}, 0)$, chiamalo $P$. Allora chi è $P-Q$?
"iTz_Ovah":
Un punto di $r_1$ era $(0,0,\frac{1}{2})$, chiamalo per esempio $Q$; un punto su $r_2$ era $(frac{1}{2}, -frac{1}{2}, 0)$, chiamalo $P$. Allora chi è $P-Q$?
Perfetto! Ti ringrazio tanto per la pazienza
Tranquillo, ci sono passato anche io
Ora non mi resta che trovare il determinante della matrice che viene mettendo nella prima riga i valori del vettore che unisce le rette, nella seconda i valori della direzione di R2 e nella terza i valori della direzione di R1?
Il determinante di quella matrice mi da 0, come trovo il valore di K?
Il determinante di quella matrice mi da 0, come trovo il valore di K?
La disposizione delle righe è indifferente: per le proprietà del determinante, scambiando due righe questo cambia di segno, ma $\pm0$ è sempre e comunque 0, no?
Il fatto che trovi che $det=0$ per ogni valore di $k$ mi fa sospettare un errore (ho controllato i miei calcoli). Se non fosse così significherebbe che le rette sarebbero complanari comunque tu scelga $k$. Per esempio se metti $k=1$ ottieni che $det=2\ne0$ e cioè le rette sono sghembe, puoi provare tu stesso (che comprova l'errore nel tuo calcolo)!
Io suggerisco di usare la regola di Sarruss per il calcolo del determinante.
Il fatto che trovi che $det=0$ per ogni valore di $k$ mi fa sospettare un errore (ho controllato i miei calcoli). Se non fosse così significherebbe che le rette sarebbero complanari comunque tu scelga $k$. Per esempio se metti $k=1$ ottieni che $det=2\ne0$ e cioè le rette sono sghembe, puoi provare tu stesso (che comprova l'errore nel tuo calcolo)!
Io suggerisco di usare la regola di Sarruss per il calcolo del determinante.
"iTz_Ovah":
La disposizione delle righe è indifferente: per le proprietà del determinante, scambiando due righe questo cambia di segno, ma $\pm0$ è sempre e comunque 0, no?
Il fatto che trovi che $det=0$ per ogni valore di $k$ mi fa sospettare un errore (ho controllato i miei calcoli). Se non fosse così significherebbe che le rette sarebbero complanari comunque tu scelga $k$. Per esempio se metti $k=1$ ottieni che $det=2\neq0$ e cioè le rette sono sghembe, puoi provare tu stesso (che comprova l'errore nel tuo calcolo)!
Io suggerisco di usare la regola di Sarruss per il calcolo del determinante.
Ok sto andando fuori di testa ahahah probabilmente ho sbagliato qualche segno perché alla fine mi viene 6/2 - k = 0
Anzi, ora che ci penso quel 6/2-k=0 si leggerebbe come 3-k=0 e ciò significa che k deve valere 3? Corretto?
Precisamente. Il determinante per l'esattezza dovrebbe essere $frac{1}{2}(6-2k)$
"iTz_Ovah":
Precisamente. Il determinante per l'esattezza dovrebbe essere $frac{1}{2}(6-2k)$
Quel passaggio non l'ho incontrato, forse ho fatto i calcoli diversamente, ti metto la foto così controlli ma penso sia giusto
https://screenshot.net/x178ot9
Tu hai calcolato il determinante secondo Laplace, io con il metodo di Sarruss. Tuttavia dovremmo ottenere lo stesso risultato:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=determinant+%7B%7B1%2F2,+-1%2F2,+-1%2F2%7D,%7Bk-1,+3-k,+-2%7D,%7B1,1,-1%7D%7D
http://www.wolframalpha.com/input/?i=determinant+%7B%7B1%2F2,+-1%2F2,+-1%2F2%7D,%7Bk-1,+3-k,+-2%7D,%7B1,1,-1%7D%7D
"iTz_Ovah":
Tu hai calcolato il determinante secondo Laplace, io con il metodo di Sarruss. Tuttavia dovremmo ottenere lo stesso risultato:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=determinant+%7B%7B1%2F2,+-1%2F2,+-1%2F2%7D,%7Bk-1,+3-k,+-2%7D,%7B1,1,-1%7D%7D
Si mi viene 3-k! Quindi il risultato è quello.
Ora, dovendo trovare il piano che contiene queste due rette, come devo proseguire?
Prova a caratterizzare il piano: che caratteristiche deve avere il piano in relazione alla direzione delle due rette? Per che punto deve passare? (Scriverne l'equazione parametrica è immediato; per quella cartesiana basta un conticino)
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