Stabilire esistenza basi da matrice associata.

[BRN1]

Ciao a tutti, mi servirebbe un vostra opinione su un punto di questo esercizio.
Per completezza, lo posto tutto.

In $RR^4$ e in $RR^3$ si fissino le basi canoniche e sia $f_k:RR^4 rarr RR^3$ un'applicazione lineare rappresentata, rispetto tali basi, dalla matrice:

$M_k=((1,0,1,3),(0,1,-1,-k),(2,1,k,5))$

a) Al variare di $k$, si determinino dimensioni e basi di $ker(f_k)$ e $Im(f_k)$.
b) Si stabilisca se esistono valori di $k$ tali che il vettore $(2, -1, 3)$ non appartenga a $Im(f_k)$.
c) Sia $g: RR^4 rarr RR^3$ un'applicazione lineare tale che:

$ ( ( -3 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ), ( ( -1 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) )in ker(g); g( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) = ((1),(0),(2)), g( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) = ((0),(1),(1))$

si dimosytri che si ha $g=F_1$.
d) Si stabilisca se esistono altre basi in $RR^4$ e in $RR^3$ tali che la matrice rappresentativa di $f_1$ rispetto a tali basi sia:

$N=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0))$

Le mie soluzioni:
a) I vettori colonna di $M_k$ constituiscono un sistema di generatori per $Im(f_k)$. Ne dermino la dimensione e una base:

$((1,0,1,3),(0,1,-1,-k),(2,1,k,5)) rArr ((1,0,1,3),(0,1,-1,-k),(0,0,k-1,k-1))$

da cui si deduce che per $k=1$ si ha $dim(Im(f))=2$ e per $k!=1$ si ha $dim(Im(f)=3$. allora per $k=1$

$B_(Im(f_1))={((1),(0),(2)),((0),(1),(1))}$

e per $k!=1$

$B_(Im(f_k))={((1),(0),(2)),((0),(1),(1)),((1),(-1),(k))}$

Dal teorema di nullità + rango si ottiene che $dim(ker(f))=2$ per $k=1$ e $dim(ker(f))=1$ per $k!=1$ e risolvendo il sistema omogeneo si ottiene:

per $k=1$ $B_(ker(f_1))={((-1),(1),(1),(0)),((-3),(1),(0),(1))}$

per $k!=1$ $B_(ker(f_1))={((-2),(k-1),(-1),(1))}$

b) Risolvendo il sistema

$ { ( x+z+3t=2 ),( y-z-kt=-1 ),( 2x+y+kz+5t=3 ):} $

si ottiene che per $k=1$ si hanno $oo^1$ soluzioni, mentre per $k!=1$ si ha 1 soluzione. Pertanto il vettore dato è sempre appartenente a $Im(f_k)$ per ogni $k$.

c) A questo punto ho già risposto al punto a)

d) Qui ho dei forti dubbi. La matrice N sostanzialmente elimina la quarta coordinata dello spazio di partenza e lascia immutate le altre coordinate. Pertanto, direi che esiste sempre delle basi nel dominio e nel codominio che abbiano N come matrice associata...

La vostra opinione?

Grazie!

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda l'ultimo punto, la risposta è senz'altro negativa. Infatti, poiché:

$M_1=((1,0,1,3),(0,1,-1,-1),(2,1,1,5)) rarr r(M_1)=2$

$N=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)) rarr r(N)=3$

la dimensione del sottospazio immagine dipenderebbe dalla scelta delle due basi.