Stabilire dimensione sottospazio vettoriale al variare di K
Salve a tutti. ho questo esercizio.
siano $U_k$ = L($S_k$) e U = L(S) i sottospazi vettoriali di $R^4$ dove $S_k$ = [ (k, 1, -1, 0) , (2, -2, 2, 0) , (0, 0, 0, 3)]
e S = [(1, 0, 0, 1) , (-2, 0, 0, 0) , (1, 1, -1, 1)] .
Determinare dim $U_k$ al variare di K.
Determinare nel caso k = -1 :
- $U_-1$ $nnn$ U
- $U_-1$ + U .
per quanto riguarda la dimensione di $U_k$ io ho fatto in questo modo. ho disposto i vettori del sistema in una matrice; l'ho ridotta a scalini e poi ho notato che per K = -1 il rango della matrice è 2 e quindi la dimensione del sottospazio vettoriale $U_k$ generato dal sistema in questione, al variare di K, è proprio 2 .
Correggetemi se sbaglio.
Per il resto, per quanto riguarda la seconda richiesta del problema non so come procedere.
tra qualche giorno ho l'esame, datemi una mano.
Vi ringrazio.
siano $U_k$ = L($S_k$) e U = L(S) i sottospazi vettoriali di $R^4$ dove $S_k$ = [ (k, 1, -1, 0) , (2, -2, 2, 0) , (0, 0, 0, 3)]
e S = [(1, 0, 0, 1) , (-2, 0, 0, 0) , (1, 1, -1, 1)] .
Determinare dim $U_k$ al variare di K.
Determinare nel caso k = -1 :
- $U_-1$ $nnn$ U
- $U_-1$ + U .
per quanto riguarda la dimensione di $U_k$ io ho fatto in questo modo. ho disposto i vettori del sistema in una matrice; l'ho ridotta a scalini e poi ho notato che per K = -1 il rango della matrice è 2 e quindi la dimensione del sottospazio vettoriale $U_k$ generato dal sistema in questione, al variare di K, è proprio 2 .
Correggetemi se sbaglio.
Per il resto, per quanto riguarda la seconda richiesta del problema non so come procedere.
tra qualche giorno ho l'esame, datemi una mano.
Vi ringrazio.
Risposte
il procedimento è giusto, però per $k!=-1$ il rango a me viene $3$
si credo che cmq per k diverso da -1 il rango dovrebbe essere 3... ma per quanto riguarda la seconda richiesta del problema ?
allora io ho fatto la stessa cosa , cioè ho messo i vettori di S nella matrice
$((1,0,0,1),(-2,0,0,0),(1,1,-1,1))$
e riducendola a scalini mi ritrovo questa matrice:
$((1,0,0,1),(0,1,-1,0),(0,0,0,2))$
il rango della matrice è 3 e la dimensione di U dovrebbe essere proprio 3.
vero??
ed ora? (correggetemi se sbaglio)
come procedo?
Aiutatemi e vi ringrazio cmq anticipatamente.
allora io ho fatto la stessa cosa , cioè ho messo i vettori di S nella matrice
$((1,0,0,1),(-2,0,0,0),(1,1,-1,1))$
e riducendola a scalini mi ritrovo questa matrice:
$((1,0,0,1),(0,1,-1,0),(0,0,0,2))$
il rango della matrice è 3 e la dimensione di U dovrebbe essere proprio 3.
vero??
ed ora? (correggetemi se sbaglio)
come procedo?
Aiutatemi e vi ringrazio cmq anticipatamente.
Fai l'unione delle due basi, e scarta i vettori linearmente dipendenti...
Ti consiglio ovviamente in ciascun insieme di scartare già quelli che tra loro sono linearmente dipendenti.
Ti consiglio ovviamente in ciascun insieme di scartare già quelli che tra loro sono linearmente dipendenti.
Prima di tutto trova una base per $U_(-1)$ (E' facile tenendo conto che ha dimensione 2 e che è generato da quei 3 vettori che hai scritto in $S_k$)
Poi una base di U ce l'hai già perchè U ha dimensione 3.
Ora devi trovare gli elementi che stanno in $U_(-1)$ e in $U$ e quindi puoi fare un sistema di 5 incognite e 4 equazioni (combini linearmente la base di $U_(-1)$ e uguagli tale combinazione ad un'altra combinazione lineare della base di U) e andare a trovare le soluzioni del sistema con la solita riduzione a gradini
Poi una base di U ce l'hai già perchè U ha dimensione 3.
Ora devi trovare gli elementi che stanno in $U_(-1)$ e in $U$ e quindi puoi fare un sistema di 5 incognite e 4 equazioni (combini linearmente la base di $U_(-1)$ e uguagli tale combinazione ad un'altra combinazione lineare della base di U) e andare a trovare le soluzioni del sistema con la solita riduzione a gradini
aiuto..... !... ma scusatemi io nn dovrei calcolare la dinmensione del sottsoapzio intersezione e della somma dei due sottospazi? nn chiede questo l'esercizio?
Potreste se potete spiegarmi in maniera un po piu chiara? perchè sto facendo un po di confusione.... vi ringrazio
!... ma scusatemi io nn dovrei calcolare la dinmensione del sottsoapzio intersezione e della somma dei due sottospazi? nn chiede questo l'esercizio?Potreste se potete spiegarmi in maniera un po piu chiara? perchè sto facendo un po di confusione.... vi ringrazio
Lo spazio somma è lo spazio generato dall'unione (insiemistica) dei due sottospazi...
Perciò ti basta prendere una base di uno e una base dell'altro sottospazio, per avere lo spazio somma.
Per calcolarti la dimensione, devi estrarre una base da questi generatori, perciò ti basta provare la lineare indipendenza tra loro.
Ciò che ti abbiamo consigliato è di verificare dapprima l'indipendenza lineare dei singoli sottospazi poichè se un vettore è linearmente dipendente in un sottospazio lo sarà a maggior ragione nell'unione.
Se hai altri dubbi chiedi pure!
Ciao
Perciò ti basta prendere una base di uno e una base dell'altro sottospazio, per avere lo spazio somma.
Per calcolarti la dimensione, devi estrarre una base da questi generatori, perciò ti basta provare la lineare indipendenza tra loro.
Ciò che ti abbiamo consigliato è di verificare dapprima l'indipendenza lineare dei singoli sottospazi poichè se un vettore è linearmente dipendente in un sottospazio lo sarà a maggior ragione nell'unione.
Se hai altri dubbi chiedi pure!
Ciao
ok quindi ora devo calcolare una base del primo sottospazio cioè di $U_-1$ per intenderci e poi calcolare una base di U.
dopo di che per determinare l'intersezione e la somma trai due sottospazi che devo fare di preciso??
Scusate se vi sto a fa troppo domande.. grazie !
dopo di che per determinare l'intersezione e la somma trai due sottospazi che devo fare di preciso??
Scusate se vi sto a fa troppo domande..
grazie !
Fai l'unione dei vettori $(-1,1,-1,0),(0,0,0,3),(1,0,0,1),(-2,0,0,0),(1,1,-1,1)$. Ovviamente essendo un sottospazio di $RR^4$ potrà avere al più dimensione $4$.
Allora consideriamo una loro combinazione lineare nulla $(-a+c-2d+e,a+e,a-e,3b+c+e)=(0,0,0,0)$ risolvendo il sistema scopri che i vettori sono linearmente dipendenti e precisamente $(1,0,0,1)=1/3(0,0,0,3)-1/2(2,0,0,0)$ perciò $(1,0,0,1)$ è linearmente dipendente e lo puoi scartare...
A questo punto per Grassman sai che la dimensione dell'intersezione è ....
prova a completarlo tu
Allora consideriamo una loro combinazione lineare nulla $(-a+c-2d+e,a+e,a-e,3b+c+e)=(0,0,0,0)$ risolvendo il sistema scopri che i vettori sono linearmente dipendenti e precisamente $(1,0,0,1)=1/3(0,0,0,3)-1/2(2,0,0,0)$ perciò $(1,0,0,1)$ è linearmente dipendente e lo puoi scartare...
A questo punto per Grassman sai che la dimensione dell'intersezione è ....
prova a completarlo tu
"qwert90":
aiuto.....
Potreste se potete spiegarmi in maniera un po piu chiara? perchè sto facendo un po di confusione.... vi ringrazio
Per come lo hai scritto tu l'esercizio non chiede solo di trovare la dimensione, ma di trovare proprio quei sottospazi.
Ciò significa esplicitare i vettori che vi appartengono (ad esempio dire che è il sottospazio dei vettori $(\alpha,\beta,2\alpha-\beta,4)$ con $\alpha,\beta\inRR$ che non è vero, ma ho fatto solo un esempio per farti capire)
oppure darne una base.
okok ho capito cosa intendi dire ... quindi io devo trovare una base di $U_-1$ + U , trovo poi immediatamente la dim ( $U_-1$ + U ) e poi trovo una base di $U_-1$ $nnn$ U e ne calcolo subito dopo la dimensione e poi ho finito l'esercizio..? se è cosi so come calcolcare le due basi... quindi dopo ciò ho finito??
Ditemi di si ( se potete rispondetemi cosi mi aiutate anke cn qst esercizio) e grazie 1000 per l'aiuto !!!!
Ditemi di si
( se potete rispondetemi cosi mi aiutate anke cn qst esercizio) e grazie 1000 per l'aiuto !!!!
Sì beh certo.
Se sai trovare le basi allora sei a posto.
Chiedi però se ti accorgi che in realtà hai difficoltà a trovarle.
Ciao
Se sai trovare le basi allora sei a posto.
Chiedi però se ti accorgi che in realtà hai difficoltà a trovarle.
Ciao
sisi per quanto ruguarda le basi ho trovato un metodo per poterle caloclare anche vedendo dal libro..... ci sentiamo piu tardi o domani sperando di riuscire a calcolarle ok?? se dovessi avere problemi vi contatterò.
Grazie 1000
Grazie 1000
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