Stabilir per quali valori un vettore appartiene all'immagine
salve a tutti, volevo chiedervi aiuto per una tipologia di esercizio dal quale davvero non riesco a saltare fuori 
l'esercizio è il seguente:
Data l’applicazione lineare T : R4 → R3 definita da:
T(x1, x2, x3, x4) = ( x1+ k2x2+ kx3+ x4, 4x1− 3kx2 + 2x3 + 2x4, kx2 − 2kx2 − x3 + x4)
stabilire per quali valori di k il vettore $ (1, 2k2, 4k) $ appartiene a Im (T).
mi potreste spiegare come si fa?
grazie mille in anticipo
l'esercizio è il seguente:
Data l’applicazione lineare T : R4 → R3 definita da:
T(x1, x2, x3, x4) = ( x1+ k2x2+ kx3+ x4, 4x1− 3kx2 + 2x3 + 2x4, kx2 − 2kx2 − x3 + x4)
stabilire per quali valori di k il vettore $ (1, 2k2, 4k) $ appartiene a Im (T).
mi potreste spiegare come si fa?
grazie mille in anticipo
Risposte
e' facilissimo....attribuisci a t dei valori non ausiliari...poi poni k uguale a 'delta' nel vettore...poi penso che tu ci arrivi da solo....se hai bisogno chiedi...dimmi poi se ti e' riuscito
Intanto benvenut* nel forum. 
Poi ti consiglio di imparare a usare le formule, perché così non è molto chiaro...
Se ho capito bene, l'applicazione è questa giusto?
[tex]\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}x_1+k^2x_2+kx_3+x_4 \\ 4x_1-3kx_2+2x_3+2x_4 \\ kx_1-2x_2k-x_3+x_4\end{pmatrix}[/tex]
Venendo al problema, pensa alla definizione di immagine. In questo caso è lo spazio delle soluzioni di un sistema.
Ora devi cercare di capire quando quel vettore è soluzione di quel sistema, chiaro?
Poi ti consiglio di imparare a usare le formule, perché così non è molto chiaro...
Se ho capito bene, l'applicazione è questa giusto?
[tex]\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}x_1+k^2x_2+kx_3+x_4 \\ 4x_1-3kx_2+2x_3+2x_4 \\ kx_1-2x_2k-x_3+x_4\end{pmatrix}[/tex]
Venendo al problema, pensa alla definizione di immagine. In questo caso è lo spazio delle soluzioni di un sistema.
Ora devi cercare di capire quando quel vettore è soluzione di quel sistema, chiaro?
Io farei così (magari sbaglio):
scriverei la matrice associata, la mia immagine sarà generata dai vettori colonna indipendenti; dopodichè cercherei di risolvere il sistema imponendo che quel vettore deve essere combinazione lineare dei vettori di una base dell'Imm
scriverei la matrice associata, la mia immagine sarà generata dai vettori colonna indipendenti; dopodichè cercherei di risolvere il sistema imponendo che quel vettore deve essere combinazione lineare dei vettori di una base dell'Imm
"Titania":
Intanto benvenut* nel forum.
Poi ti consiglio di imparare a usare le formule, perché così non è molto chiaro...
Se ho capito bene, l'applicazione è questa giusto?
[tex]\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}x_1+k^2x_2+kx_3+x_4 \\ 4x_1-3kx_2+2x_3+2x_4 \\ kx_1-2x_2k-x_3+x_4\end{pmatrix}[/tex]
Venendo al problema, pensa alla definizione di immagine. In questo caso è lo spazio delle soluzioni di un sistema.
Ora devi cercare di capire quando quel vettore è soluzione di quel sistema, chiaro?
intanto grazie mille a tutti per l'aiuto
per le formule c'ho provato ma mi sono trovato un'attimo impedito (andavo anche un po' di fretta quindi nn me lo son potuto studiare 
)per quanto riguarda il problema in se, in pratica, mi state dicendo di aggiungere il vettore $ 1,(2k)^(2),4k $ in fondo alla matrice e risolverlo con gauss?
(scusatemi ma tendo ad essere molto sul pratico xD)
Ok sì, però potrebbe anche essere utile cercare di capire il perché delle cose!
si si certo hai ragione Titania..cmq in pratica si risolve come ho scritto sopra e parlando teoricamente aggiungendo il vettore alla matrice lo calcolo come combinazione lineare dei vettori dell'immagine giusto? (quindi di conseguenza sarebbe appartenente all'immagine)
Beh, allora "in pratica" affianchi il vettore alla matrice e imponi che il rango della matrice completa sia uguale al rango della matrice incompleta (teorema di Rouchè-Capelli).
"Titania":
Beh, allora "in pratica" affianchi il vettore alla matrice e imponi che il rango della matrice completa sia uguale al rango della matrice incompleta (teorema di Rouchè-Capelli).
perfettoooooo
grazie!
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