Spighe e germi
Ho un dubbio sulla segue notazione.
Sia $X$ una varietà algebrica affine e indichiamo con $O(X)$ l'anello delle funzioni regolari. Se $U,V$ sono aperti non vuoti e $f,g\in O(X)$, la relazione $(U,f)\equiv (V,g) \iff g_{|U\cap V} =f_{|U\cap V}$ è una relazione di equivalenza e ci siamo.
Molto spesso però negli appunti che seguo incontro il quoziente $\frac{O(X)}{\equiv}$ in luogo di $\frac{\tau\times O(X)}{\equiv}$, essendo $\tau$ l'insieme degli aperti non vuoti di $X$.
L'autore degli appunti cosa indica con questo simbolo? Ho immaginato qualcosa del genere: $$f\equiv g \iff \exists U\subseteq X \text{ aperto non vuoto tale che } f_{|U}=g_{|U}.$$
Che ne dite?
Grazie in anticipo.
Sia $X$ una varietà algebrica affine e indichiamo con $O(X)$ l'anello delle funzioni regolari. Se $U,V$ sono aperti non vuoti e $f,g\in O(X)$, la relazione $(U,f)\equiv (V,g) \iff g_{|U\cap V} =f_{|U\cap V}$ è una relazione di equivalenza e ci siamo.
Molto spesso però negli appunti che seguo incontro il quoziente $\frac{O(X)}{\equiv}$ in luogo di $\frac{\tau\times O(X)}{\equiv}$, essendo $\tau$ l'insieme degli aperti non vuoti di $X$.
L'autore degli appunti cosa indica con questo simbolo? Ho immaginato qualcosa del genere: $$f\equiv g \iff \exists U\subseteq X \text{ aperto non vuoto tale che } f_{|U}=g_{|U}.$$
Che ne dite?
Grazie in anticipo.
Risposte
Sì il quoziente che fai è sul coprodotto \(\coprod_{U\in \tau} O(U)\). Due elementi sono quindi equivalenti se esiste un sotto-aperto della loro intersezione, su cui coincidono.
Leggendo la risposta di fulcanelli: l'autrice\autore sta definendo l'espaces étalé del fascio (strutturale)?
Non sono molto familiare con i coprodotti ma ha praticamente scritto che:
\[
O_p(X)=\frac{\bigcup_{U\ni p,U\in \tau} O(U)}{\equiv}
\]
dove $O_p(X)$ è l'anello delle funzioni regolari in $p$, $p\in X$.
\[
O_p(X)=\frac{\bigcup_{U\ni p,U\in \tau} O(U)}{\equiv}
\]
dove $O_p(X)$ è l'anello delle funzioni regolari in $p$, $p\in X$.
Sì, esatto... attento che sto senza occhiali: non vorrei aver preso una svista! 
"Cantor99":Sì; \(O_p\) (che non dipende da \(X\)) è la spiga di \(O\) nel punto $p$.
Non sono molto familiare con i coprodotti ma ha praticamente scritto che:
\[
O_p(X)=\frac{\bigcup_{U\ni p,U\in \tau} O(U)}{\equiv}
\]
dove $O_p(X)$ è l'anello delle funzioni regolari in $p$, $p\in X$.
Grazie delle risposte.
A questo punto mi chiedo: perché non definire la relazione di equivalenza solo in termini di funzioni regolari?
A questo punto mi chiedo: perché non definire la relazione di equivalenza solo in termini di funzioni regolari?
Se ci fai caso: c'è differenza tra funzioni globalmente regolari e localmente regolari... il testo non ne fa accenno?
Non ho incontrato la definizione di funzione localmente regolare, immagino sia qualcosa del tipo: una funzione $f: X\to CC$ si dice localmente regolare sse esiste un aperto $U\subseteq X$ tale che $f\in O(U)$? Giusto?
In tal senso intuitivamente la differenza la scorgo, cioè la regolarità implica la locale regolarità mentre il viceversa probabilmente non è vero. In ogni caso, se c'è questa differenza perché poi ci si "dimentica" degli aperti? Cioè perché ad esempio il prof ha scritto
invece che:
\[
O_p(X)=\frac{\bigcup_{p\in U\in \tau}U\times O(U)}{\equiv}?
\]
In tal senso intuitivamente la differenza la scorgo, cioè la regolarità implica la locale regolarità mentre il viceversa probabilmente non è vero. In ogni caso, se c'è questa differenza perché poi ci si "dimentica" degli aperti? Cioè perché ad esempio il prof ha scritto
"Cantor99":
\[ O_p(X)=\frac{\bigcup_{U\ni p,U\in \tau} O(U)}{\equiv} \]
invece che:
\[
O_p(X)=\frac{\bigcup_{p\in U\in \tau}U\times O(U)}{\equiv}?
\]
La risposta breve è "perché la seconda cosa non è quello che vuoi scrivere"; in effetti la seconda cosa non typechecka nemmeno, alla luce di quello che vorresti scrivere (la prima componente del prodotto è covariante; la seconda è controvariante, perché tale è \(O\)).
Con ordine: se \(P\) è l'insieme parzialmente ordinato degli aperti di uno spazio topologico \(X\), un "prefascio" è un funtore \(F : P^\text{op} \to \sf Set\); ora per ogni \(x\in X\) puoi considerare la restrizione di F al sotto-poset dato dagli elementi di \(P\) che contengono x; questo è un filtro. Quando fai il colimite su questo filtro, quello che ottieni si chiama la "spiga" del "fascio" \(F\) nel punto \(x\in X\).
Per un fatto generale relativo a come si calcolano i colimiti in \(\sf Set\), quello che devi fare per trovare la spiga di \(F\) in \(x\) è il coprodotto di tutti gli \(FU\) al variare di \(U\) nel filtro degli aperti contenenti x, e quozientare questo insieme per la relazione di equivalenza indotta dall'"avere lo stesso germe" in x, ossia \((U,f)\simeq (V,g)\) se (e solo se! Questa è la conseguenza del fatto che il filtro degli intorni aperti di x è un poset diretto) esiste un aperto nella intersezione \(U\cap V\) dove \(f=g\).
Con ordine: se \(P\) è l'insieme parzialmente ordinato degli aperti di uno spazio topologico \(X\), un "prefascio" è un funtore \(F : P^\text{op} \to \sf Set\); ora per ogni \(x\in X\) puoi considerare la restrizione di F al sotto-poset dato dagli elementi di \(P\) che contengono x; questo è un filtro. Quando fai il colimite su questo filtro, quello che ottieni si chiama la "spiga" del "fascio" \(F\) nel punto \(x\in X\).
Per un fatto generale relativo a come si calcolano i colimiti in \(\sf Set\), quello che devi fare per trovare la spiga di \(F\) in \(x\) è il coprodotto di tutti gli \(FU\) al variare di \(U\) nel filtro degli aperti contenenti x, e quozientare questo insieme per la relazione di equivalenza indotta dall'"avere lo stesso germe" in x, ossia \((U,f)\simeq (V,g)\) se (e solo se! Questa è la conseguenza del fatto che il filtro degli intorni aperti di x è un poset diretto) esiste un aperto nella intersezione \(U\cap V\) dove \(f=g\).
Ti ringrazio della risposta, purtroppo mi mancano alcune conoscenze per poter comprendere alcuni passaggi. Sono comunque contento del fatto che quell'apparente abuso di notazione non sia tale.
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