Spiegazione Teorema esistenza della tangente
Salve a tutti, nuovissimo e pronto con una domanda calda calda:
Parliamo di geometria lineare. Il teorema recita:
Data Γ, conica irriducibile di equazione $x^T*B*x=0$ (dove x è la colonna delle coordinate) e $P_0$ un suo qualunque punto di coordinate $x_0$, ∃ retta r tangente a Γ in $P_0$ e la sua equazione è $x_0^T*B*x=0$
Il teorema comincia sostituendo la generica equazione della retta per $P_0$ nella conica, ottenendo:
$(λx_0 + µx_1)^T*B*(λx_0 + µx_1)=0$
con $x_1$ generico punto; in pratica, il fascio di rette per $x_0$
Sviluppando i prodotti fra matrici e considerando che il termine $(x_1^T*B*x_0)^T=(x_0^T*B*x_1)$ e che $(x_0^T*B*x_0)=0$ poiché $x_0$ è punto di Γ, restano i termini:
$2λµ(x_0^T*B*x_1) + \mu^2(x_1^T*B*x_1)=0$ (1)
Fin qui tutto ok, niente di strano, i calcoli mi sembrano giusti. Ora il teorema prosegue:
Ora, non mi è proprio chiaro il discorso di $\mu^2=0$. Chi mi illumina? Grazie in anticipo!
Parliamo di geometria lineare. Il teorema recita:
Data Γ, conica irriducibile di equazione $x^T*B*x=0$ (dove x è la colonna delle coordinate) e $P_0$ un suo qualunque punto di coordinate $x_0$, ∃ retta r tangente a Γ in $P_0$ e la sua equazione è $x_0^T*B*x=0$
Il teorema comincia sostituendo la generica equazione della retta per $P_0$ nella conica, ottenendo:
$(λx_0 + µx_1)^T*B*(λx_0 + µx_1)=0$
con $x_1$ generico punto; in pratica, il fascio di rette per $x_0$
Sviluppando i prodotti fra matrici e considerando che il termine $(x_1^T*B*x_0)^T=(x_0^T*B*x_1)$ e che $(x_0^T*B*x_0)=0$ poiché $x_0$ è punto di Γ, restano i termini:
$2λµ(x_0^T*B*x_1) + \mu^2(x_1^T*B*x_1)=0$ (1)
Fin qui tutto ok, niente di strano, i calcoli mi sembrano giusti. Ora il teorema prosegue:
Perché la retta $P_0 P_1$ incontri Γ in due intersezioni coincidenti in $P_0$, dalla (1) dobbiamo ottenere la risolvente $\mu^2=0$. Perché ciò accada, dev'essere:
$(x_0^T*B*x1)=0$
In altre parole, perché $P_0 P_1$ sia tangente bisogna congiungere $P_0$ con i punti $P_1$ le cui coordinate soddisfano l'equazione $x_0^T*B*x=0$ [...]
Ora, non mi è proprio chiaro il discorso di $\mu^2=0$. Chi mi illumina? Grazie in anticipo!
Risposte
"Federinik":Chiama [tex]a=x_0^T \cdot B \cdot x_1[/tex] e [tex]b=x_1^T \cdot B \cdot x_1[/tex]. Ricordando che [tex]\lambda = 1-\mu[/tex], quello che la (1) diventa è l'equazione di secondo grado [tex]2 \mu (1-\mu) a + \mu^2 b = 0[/tex], o in altre parole
$2λµ(x_0^T*B*x_1) + \mu^2(x_1^T*B*x_1)=0$ (1)
\[
(b-2a)\mu^2 = 2 \mu a
\]
Quello che vuoi ottenere è che questa equazione abbia come unica soluzione [tex]\mu = 0[/tex]. Ora osserva che un'opportuna scelta di [tex]x_1[/tex] comporta che [tex]b \neq 2a[/tex] (altrimenti [tex]B[/tex] sarebbe degenere - prova a pensarci). Ne segue che l'unica possibilità perché l'unica soluzione sia [tex]\mu=0[/tex] è che [tex]a=0[/tex].
Grazie, ora credo di aver capito ^^ Anche se non sono certo che λ=1−μ, dovrebbero essere coefficienti slegati fra loro per ottenere la combinazione lineare fra le coordinate dei punti.
No, se fossero slegati allora la combinazione lineare [tex]\lambda x_0 + \mu x_1[/tex] spazzerebbe tutto il piano (a meno che [tex]x_0[/tex] e [tex]x_1[/tex] non siano allineati con l'origine, ma in generale non lo sono). Se i combinatori (di somma 1) sono positivi ottieni una cosiddetta "combinazione lineare convessa", che fornisce il segmento che collega i due punti (cf. qui).
Un punto generico della retta passante per [tex]x_0[/tex] e [tex]x_1[/tex] è della forma [tex]x_0 + \mu(x_1-x_0)[/tex].
Un punto generico della retta passante per [tex]x_0[/tex] e [tex]x_1[/tex] è della forma [tex]x_0 + \mu(x_1-x_0)[/tex].
Detto più precisamente, una combinazione lineare di punti è definita solo se la somma dei combinatori è 1 (cf. il calcolo baricentrico). Ti riporto un estratto della dispensa di geometria lineare e affine di Maurizio Cailotto (se il link non funziona, la trovi sul suo sito).
Se ci pensi è ovvio che i combinatori non siano liberi di variare in modo indipendente: perché una combinazione lineare di punti fornisca un sottospazio proprio (cioè non tutto lo spazio) ci devono essere condizioni, o meglio equazioni (affini), che legano i combinatori.
A proposito, benvenuto nel forum
Se ci pensi è ovvio che i combinatori non siano liberi di variare in modo indipendente: perché una combinazione lineare di punti fornisca un sottospazio proprio (cioè non tutto lo spazio) ci devono essere condizioni, o meglio equazioni (affini), che legano i combinatori.
A proposito, benvenuto nel forum
Si, ha senso XD Comunque non ha più importanza, stamattina ho dato la materia con 30 e tutti a casa! Grazie della risposta celete e precisa e grazie del benvenuto, al prossimo dubbio!
"Federinik":Non sai quanto ti sbagli
Comunque non ha più importanza
E non (solo) perché ti servirà in futuro: trovo che sia abbastanza triste studiare solo per l'esame.
La materia ti piace almeno un po'? Spero di sì.
Ciao
La materia mi piace e la prof. l'ha anche capito visto l'esito 
Comunque sono in ingegneria informatica, l'uso pratico di questi concetti, per quanto interessanti e importanti nel contesto universitario, mi sembra abbastanza improbabile
Comunque sono in ingegneria informatica, l'uso pratico di questi concetti, per quanto interessanti e importanti nel contesto universitario, mi sembra abbastanza improbabile
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