Spiegazione Matrice
Qualcuno mi sa dire la funzione f=fA che cos'è? L'ho trovato in alcuni esercizi e non ho ben capito cosa sia...
Questo è l'esercizio che devo svolgere...
4) Sia f=fA la funzione lineare di R3 in se stesso definita dalla matrice A:
3 -1 -1
1 1 -1
1 -1 1
Ho già calcolato autovalori, autovettori e controllato se è diagonalizzabile...
ora mi resta "Scrivere un sistema di riferimento R' di autovettori di f e determinare la matrice M(f, R') associata ad f nel sistema di riferimento R' "
Qualcuno mi può spiegare come impostare questo punto dell'esercizio? Grazie
Questo è l'esercizio che devo svolgere...
4) Sia f=fA la funzione lineare di R3 in se stesso definita dalla matrice A:
3 -1 -1
1 1 -1
1 -1 1
Ho già calcolato autovalori, autovettori e controllato se è diagonalizzabile...
ora mi resta "Scrivere un sistema di riferimento R' di autovettori di f e determinare la matrice M(f, R') associata ad f nel sistema di riferimento R' "
Qualcuno mi può spiegare come impostare questo punto dell'esercizio? Grazie
Risposte
Sicuramente l'autore intende per $f_A$ la funzione definita da
$f_A(x, y, z)=A((x), (y), (z))$.
$f_A(x, y, z)=A((x), (y), (z))$.
quindi devo procedere "normalmente"...cioè non devo cambiare nulla rispetto al semplice calcolo di una matrice associata...giusto?
ah ok grazie,
praticamente ho visto che fA è l'endomorfismo che associa la matrice al suo rifermento naturale
cioè è qualcosa del genere:
fA(1,0,0) = (x,y,z) = a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1) dove a,b,c sono le componenti della prima colonna (ovviamente faccio l'esempio di uno spazio vettoriale R^3) giusto?
In questo caso allora non mi è ancora chiara una cosa, conoscendo la matric
la matrice e lo spazio vettoriale, come mi posso ricavare fA?
grazie !
praticamente ho visto che fA è l'endomorfismo che associa la matrice al suo rifermento naturale
cioè è qualcosa del genere:
fA(1,0,0) = (x,y,z) = a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1) dove a,b,c sono le componenti della prima colonna (ovviamente faccio l'esempio di uno spazio vettoriale R^3) giusto?
In questo caso allora non mi è ancora chiara una cosa, conoscendo la matric
la matrice e lo spazio vettoriale, come mi posso ricavare fA?
grazie !
"Sergio":
Se hai già calcolato e controllato, l'esercizio è finito. Il "sistema di riferimento di autovettori" non è altro che l'insieme degli autovettori che hai calcolato e la matrice associata rispetto a questo non è altro che la matrice diagonale degli autovalori.
Allora ho come autovalori:
ma(1) = mg(1) = 1
ma(2) = mg(2) = 2
E' diagonalizzabile...
Ho calcolato le basi di autovettori...
Per quello che tu mi hai detto dovrebbe essere così la parte conclusiva dell'esercizio:
base di autovettori è {(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1)}
La matrice associata è $ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
giusto?
Siccome ti sto disturbando...finisco questo esercizio insieme a te:
devo ricavare le radici da qui:
$(t-1)(t^2-4t+4)$
dalle quali trovo che le radici sono:
1 con molt.algebrica 1
2 con molt.algebrica 2
Calcolo ora gli autospazi per controllare la molt.geometrica (non so se c'è un modo più veloce e sicuro per trovarla...) e trovare l'autovettore:
Autospazio V(1)
$ { ( 2x -y -t = 0 ),( x - t = 0 ),( x + y = 0 ):} $
da cui ricavo che
$ { ( 0 = 0 ),( x = t ),( x = y ):} $
Credo che quindi l'autovettore è del tipo (x,0,0) [e non (0,0,0) come avevo scritto io...]
molt.geometrica è 1
Autospazio V(2)
$ { ( x -y -t = 0 ),( x -y -t = 0 ),( x -y -t = 0 ):} $
da cui ricavo che
$ { ( x = y + t ),( x = y + t ),( x = y + t ):} $
Credo che quindi l'autovettore è del tipo (y+t,y,t)
molt.geometrica è 2
Quindi mi risulta Diagonalizzabile...
$ A = ( ( 3, -1, -1),( 1, 1, -1),( 1, -1, 1) ) $
$ D = ( ( 1, 0, 0),( 0, 2, 0),( 0, 0, 2) ) $
$ B = ( ( 1, 1, 1),( 1, 0, 0),( 0, 1, 0) ) $
Ma non credo di trovarmi
devo ricavare le radici da qui:
$(t-1)(t^2-4t+4)$
dalle quali trovo che le radici sono:
1 con molt.algebrica 1
2 con molt.algebrica 2
Calcolo ora gli autospazi per controllare la molt.geometrica (non so se c'è un modo più veloce e sicuro per trovarla...) e trovare l'autovettore:
Autospazio V(1)
$ { ( 2x -y -t = 0 ),( x - t = 0 ),( x + y = 0 ):} $
da cui ricavo che
$ { ( 0 = 0 ),( x = t ),( x = y ):} $
Credo che quindi l'autovettore è del tipo (x,0,0) [e non (0,0,0) come avevo scritto io...]
molt.geometrica è 1
Autospazio V(2)
$ { ( x -y -t = 0 ),( x -y -t = 0 ),( x -y -t = 0 ):} $
da cui ricavo che
$ { ( x = y + t ),( x = y + t ),( x = y + t ):} $
Credo che quindi l'autovettore è del tipo (y+t,y,t)
molt.geometrica è 2
Quindi mi risulta Diagonalizzabile...
$ A = ( ( 3, -1, -1),( 1, 1, -1),( 1, -1, 1) ) $
$ D = ( ( 1, 0, 0),( 0, 2, 0),( 0, 0, 2) ) $
$ B = ( ( 1, 1, 1),( 1, 0, 0),( 0, 1, 0) ) $
Ma non credo di trovarmi
capito...
vorrei una conferma...
$ { ( 2x - y - z = 0 ),( x = y ),( x = z ):} $
$ { ( 2x - x - x = 0 ),( x = y ),( x = z ):} $
Capito...essendo la variabile x "libera" l'autovettore è del tipo (x, x, x).
Grazie =)
vorrei una conferma...
$ { ( 2x - y - z = 0 ),( x = y ),( x = z ):} $
$ { ( 2x - x - x = 0 ),( x = y ),( x = z ):} $
Capito...essendo la variabile x "libera" l'autovettore è del tipo (x, x, x).
Grazie =)
Mi è sorto un altro dubbio e non riesco a venirne a capo sempre inerente a questo esercizio...
Non riesco a verificare $A = BDB^-1$
A me nell'esercizio chiede di "Scrivere un sistema di riferimento R' di autovettori di f e determinare la matrice M(f, R') associata ad f nel sistema di riferimento R' "
Il sistema di autovettori si ha mettendo sulle colonne gli autovettori...
La matrice associata ad f nel sistema di riferimento di autovettori sarebbe la matrice ottenuta ponendo sulla diagonale gli autovalori? Oppure devo verificare che $A = BDB^-1$??? Cioè la risposta all'esercizio non riesco a comprendere quale sia...
Non riesco a verificare $A = BDB^-1$
A me nell'esercizio chiede di "Scrivere un sistema di riferimento R' di autovettori di f e determinare la matrice M(f, R') associata ad f nel sistema di riferimento R' "
Il sistema di autovettori si ha mettendo sulle colonne gli autovettori...
La matrice associata ad f nel sistema di riferimento di autovettori sarebbe la matrice ottenuta ponendo sulla diagonale gli autovalori? Oppure devo verificare che $A = BDB^-1$??? Cioè la risposta all'esercizio non riesco a comprendere quale sia...
Non è una questione di teoria...so come si calcola una matrice associata in un riferimento ma non capisco come applicarlo per l'esercizio che ho...
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