Spazio vettoriale su corpo.
Ciao! L'esercizio e' tratto da '' Serge Lang: Algebra Lineare ''. Per favore, vorrei soltanto sapere se il metodo usato va bene e chiarire alcuni dubbi.
Sia '' $K$ '' un sottocorpo del corpo '' $L$ ''. Dimostrare che '' $L$ '' e' uno spazio vettoriale su '' $K$ ''. In particolare '' $C$ '' e '' $R$ '' sono spazi vettoriali su '' $Q$ ''.
- SOLUZIONE.
Affinche' '' $L$ '' sia uno spazio vettoriale serve dimostrare le proprieta' del prodotto interno, somma interna e le altre otto proprieta' operative.
- Siano '' $cinK,vinL,vnotinK$ ''.
$vc=w$. Allora '' $winL$ '', pioche' '' $L$ '' e' un corpo e vale la proprieta' del prodotto interno.
- Sia '' $tinL,tnotinK$ ''.
$w+t=s$. Allora '' $(s)inL$ '', poiche' '' $L$ '' e' un corpo e vale la proprieta' della somma interna.
Per le otto proprieta' ho qualche dubbio. Il libro lascia intendere ( nel capitolo ) che l'insieme piu' grande di corpo preso in considerazione sia quello dei numeri complessi. Riporto alcuni suoi passi successivi alla definizione di corpo:
- '' In vista di questa possibile generalizzazione, dovremmo dire che l'oggetto sopra definito e' un corpo di numeri ( complessi ). Tuttavia anche questi speciali corpi saranno chiamati semplicemente corpi. In tutta questa trattazione dell'algebra lineare, il lettore puo' per sua comodita', limitarsi a considerare il corpo dei numeri reali e quello dei numeri complessi ''.
- In una nota, invece, c'e' scritto che in alcuni corpi la moltiplicazione puo' non essere commutativa. Invece se e' commutativa, di solito si specifica che il corpo e' commutativo, ma in questo caso non vi e' alcun bisogno di specificarlo, perche' si opera sull'insieme dei numeri complessi ( in base alle definizioni ).
Quindi ho assunto che l'insieme piu' grande sul quale si debba operare fosse quello dei numeri complessi. Quindi ho dimostrato le proprieta' operative tramite le consuete leggi aritmetiche.
1 - $(vec u+vec v)+vec w=((a_u+ib_u)+(a_v+ib_v))+a_w+ib_w= (a_u+a_v+a_w)+i(b_u+b_v+b_w)$.
$(vec u)+( vec v+vec w)=(a_u+ib_u)+((a_v+ib_v)+(a_w+ib_w))=(a_u+a_v+a_w)+i(b_u+b_v+b_w)$.
Da cui l'uguaglianza ( e' stato possibile fare cio', in quanto gli ipotetici vettori sono stati ricondotti a numeri ).
2 - $0+vec u=0+(a+ib)=a+ib=vec u+0=vec u$.
3 - $vec u+(-1)vec u=(a+ib)+(-1)(a+ib)=(a+(-a))+i(b+(-b))=0+i0=0$.
4 - $vec u+vec v=(a_u+ib_u)+(a_v+ib_v)=(a_v+ib_v)+(a_u+ib_u)=vec v+vec u$.
5 - $c(vec u+vec v)=c((a_u+ib_u)+(a_v+ib_v))=c(a_u+ib_u)+c(a_v+ib_v)=cvec u+cvec v$.
6 - $(a+b)vec v= (a+b)(x+iy)=a(x+iy)+b(x+iy)=avec v+bvec v$.
7 - $(ab)vec v=(ab)(x+iy)=a(b(x+iy))=a(bvec v)$.
8 - $1vec u=1(a+ib)=a+ib=vec u$.
Quindi '' $L$ '' e' uno spazio vettoriale su '' $K$ ''. Per quanto riguarda '' $R$ '' su '' $Q$ '' segue immediatamente da quanto finora discusso, dal momento che si tratta di un sottoinsieme di '' $C$ ''.
- DOMANDE:
- Se il corpo non fosse stato ( assunzione ) limitato ai numeri complessi, era possibile svolgere l'esercizio?
- Se invece consideriamo i numeri complessi,posso considerare i coefficienti '' $a,b$ '' come insiemi di coordinate? Per me
si'. Valgono le dimostrazioni riportate? Per me si', perche' basterebbe scomporre ulteriormente i coefficienti in coordinate,
e procedere nello stesso modo. Inoltre e' ormai assodato che un insieme di coordinate sia gestibile in questo modo.
Sia '' $K$ '' un sottocorpo del corpo '' $L$ ''. Dimostrare che '' $L$ '' e' uno spazio vettoriale su '' $K$ ''. In particolare '' $C$ '' e '' $R$ '' sono spazi vettoriali su '' $Q$ ''.
- SOLUZIONE.
Affinche' '' $L$ '' sia uno spazio vettoriale serve dimostrare le proprieta' del prodotto interno, somma interna e le altre otto proprieta' operative.
- Siano '' $cinK,vinL,vnotinK$ ''.
$vc=w$. Allora '' $winL$ '', pioche' '' $L$ '' e' un corpo e vale la proprieta' del prodotto interno.
- Sia '' $tinL,tnotinK$ ''.
$w+t=s$. Allora '' $(s)inL$ '', poiche' '' $L$ '' e' un corpo e vale la proprieta' della somma interna.
Per le otto proprieta' ho qualche dubbio. Il libro lascia intendere ( nel capitolo ) che l'insieme piu' grande di corpo preso in considerazione sia quello dei numeri complessi. Riporto alcuni suoi passi successivi alla definizione di corpo:
- '' In vista di questa possibile generalizzazione, dovremmo dire che l'oggetto sopra definito e' un corpo di numeri ( complessi ). Tuttavia anche questi speciali corpi saranno chiamati semplicemente corpi. In tutta questa trattazione dell'algebra lineare, il lettore puo' per sua comodita', limitarsi a considerare il corpo dei numeri reali e quello dei numeri complessi ''.
- In una nota, invece, c'e' scritto che in alcuni corpi la moltiplicazione puo' non essere commutativa. Invece se e' commutativa, di solito si specifica che il corpo e' commutativo, ma in questo caso non vi e' alcun bisogno di specificarlo, perche' si opera sull'insieme dei numeri complessi ( in base alle definizioni ).
Quindi ho assunto che l'insieme piu' grande sul quale si debba operare fosse quello dei numeri complessi. Quindi ho dimostrato le proprieta' operative tramite le consuete leggi aritmetiche.
1 - $(vec u+vec v)+vec w=((a_u+ib_u)+(a_v+ib_v))+a_w+ib_w= (a_u+a_v+a_w)+i(b_u+b_v+b_w)$.
$(vec u)+( vec v+vec w)=(a_u+ib_u)+((a_v+ib_v)+(a_w+ib_w))=(a_u+a_v+a_w)+i(b_u+b_v+b_w)$.
Da cui l'uguaglianza ( e' stato possibile fare cio', in quanto gli ipotetici vettori sono stati ricondotti a numeri ).
2 - $0+vec u=0+(a+ib)=a+ib=vec u+0=vec u$.
3 - $vec u+(-1)vec u=(a+ib)+(-1)(a+ib)=(a+(-a))+i(b+(-b))=0+i0=0$.
4 - $vec u+vec v=(a_u+ib_u)+(a_v+ib_v)=(a_v+ib_v)+(a_u+ib_u)=vec v+vec u$.
5 - $c(vec u+vec v)=c((a_u+ib_u)+(a_v+ib_v))=c(a_u+ib_u)+c(a_v+ib_v)=cvec u+cvec v$.
6 - $(a+b)vec v= (a+b)(x+iy)=a(x+iy)+b(x+iy)=avec v+bvec v$.
7 - $(ab)vec v=(ab)(x+iy)=a(b(x+iy))=a(bvec v)$.
8 - $1vec u=1(a+ib)=a+ib=vec u$.
Quindi '' $L$ '' e' uno spazio vettoriale su '' $K$ ''. Per quanto riguarda '' $R$ '' su '' $Q$ '' segue immediatamente da quanto finora discusso, dal momento che si tratta di un sottoinsieme di '' $C$ ''.
- DOMANDE:
- Se il corpo non fosse stato ( assunzione ) limitato ai numeri complessi, era possibile svolgere l'esercizio?
- Se invece consideriamo i numeri complessi,posso considerare i coefficienti '' $a,b$ '' come insiemi di coordinate? Per me
si'. Valgono le dimostrazioni riportate? Per me si', perche' basterebbe scomporre ulteriormente i coefficienti in coordinate,
e procedere nello stesso modo. Inoltre e' ormai assodato che un insieme di coordinate sia gestibile in questo modo.
Risposte
Basta soltanto ( le due domande alla fine in particolare ) qualche accorgimento.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo