Spazio vettoriale normato con prodotto scalare

[laureando1]

preso lo spazio V1*V2 come prodotto tra 2 spazi vettoriali normati V1 e V2.
Come faccio a verificare che ad esempio
││(v1,v2)││= max {││v1││_1, ││v2││_2}
è una norma e quindi mi rende lo spazio V1*V2 normato?
Come faccio ad applicare le proprietà ad un'espressione del genere?
Purtroppo sul mio libro, che in realtà sono dispense del mio prof, non ci sono esempi concreti che mi facciano capire come fare ad applicare le regole.
Gli ex richiedono anche altre norme come ad esempio la somma tra norma v1 e norma v2 o la radice della somma della norma v1 al quadrata cn la norma v2 al quadrato.
Qualcuno ha la pazienza di spiegarmelo?
Vi ringrazio in anticipo

[miuemia]

credo che $V1,V2$ siano due spazi vettoriali su uno stesso campo, ad esempio $RR$.
bisogn dimostrare le 3 proprietà della norma cioè:
a) la non negatività
b) l'omogeneità
c) disuguaglianza triangolare.

consideriamo $││(v1,v2)││= max {││v1││_1, ││v2││_2}$

a)$││(v1,v2)││>=0$ perchè è il massimo di quantità positive
e inotre $││(v1,v2)││=0 iff max {││v1││_1, ││v2││_2}=0$ cioè $││v1││_1=0$ e $ ││v2││_2=0$ e poichè quest'ultime due sono norme allora segue che $││(v1,v2)││=0 iff v_1=0 ^^v_2=0$

b) ovvia

c) dobbiamo dimostrare che:
$││(v_1,v_2)+(w_1,w_2)││<=││(v_1,v_2)││+││(w_1,w_2)││$ $AA$ $(v_1,v_2),(w_1,w_2) in V1xV2$;

$││(v_1,v_2)+(w_1,w_2)││=max{││v_1+w_1││,││v_2+w_2││}<=max{││v_1││+││w_1││,││v_2││+││w_2││}<=$
$max{││v_1││,││v_2││}+max{││w_1││,││w_2││}$

per gli altri esempi sono facili sia per la somma delle norme che per la radice quadrata, l'unica avvertenza per la radice è che quando devi dimostrare la disuguaglianza triangolare devi fare attenzione alle disuguaglianze. però ad occhio sia l'omogeneità che la non negatività funzionano bene.
ciao e a presto