Spazio vettoriale normato

[Pafraro]

E' possibile definire un intorno:

B di raggio epsilon (v) = {v + w: ||w||
in uno spazio vettoriale normato? Se si, perchè?

grazie

[Gaal Dornick]

1) impara ad usare MathML: è semplice, ma migliora di molto la comprensibilità di quanto hai scritto

2) Uno spazio normato è automaticamente metrico (basta definire la metrica così: $d(x,y)=||x-y||$, dimostra che è metrica).
La definizione che hai dato tu di intorno è semplicemente la definizione di intorno sferico, dove al posto della metrica usi la norma, dato quanto scritto il rigo sopra (e ci sono un po' di giochi sfruttando il fatto ceh hai uno spazio vettoriale).

Intuitivamente: ad esempio in $RR^2$ stai considerando un punto fissato (v) e gli sommi (colla regola del parallelogramma) vettori di lunghezza minore di epsilon; otterrai quindi la sfera di centro v e raggio epsilon.

[gugo82]

"Pafraro":E' possibile definire un intorno:

B di raggio epsilon (v) = {v + w: ||w||
in uno spazio vettoriale normato? Se si, perchè?

grazie

Poni $B(v;epsilon):=\{ x\in V: ||x-v|| Innanzitutto verifica che $B(o;epsilon)=epsilon *B$; poi dimostra la doppia inclusione $v+epsilon*B \subseteq B(v;epsilon) \subseteq v+epsilon *B$.
Le dimostrazioni si fanno entrambe tenendo presenti le proprietà della norma (soprattutto la positiva omogeneità, cioè $||alpha*x||=|alpha|*||x||$, e la disuguaglianza triangolare).