Spazio vettoriale matrici mxn

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Ragazzi ho difficoltà a dimostrare "formalmente" questo esercizio:

Sia V lo spazio vettoriale di matrici m x n su K. Sia $E_{i,j}$ $in$ V la matrice avente 1 come elemento ij-esimo e 0 nel resto. Dimostrare che {$E_{i,j}$} è una base di V, e così dim V = mn.

Intuitivamente lo capisco, è molto semplice, ma non trovo una dimostrazione "formalmente" corretta.

Grazie a tutti

[_Tipper]

Un generico elemento di $V$ è la matrice

$(a_{i,j})_{\stackrel{i=1, 2, \ldots, n}{j=1, 2, \ldots, m}}$

al variare di $a_{i,j} \in \mathbb{K}$, per $i = 1, 2, \ldots, n$ e $j = 1, 2, \ldots, m$. Comunque si fissino gli $a_{i,j,}$ vale

$(a_{i,j})_{\stackrel{i=1, 2, \ldots, n}{j=1, 2, \ldots, m}} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{i,j} \cdot E_{i,j}$

dunque $\{E_{i,j}\}$ è un sistema di generatori per $V$. L'indipendenza lineare te la lascio, tanto è immediata...

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Grazie mille avevo fatto lo stesso ma avevo paura non bastasse come dimostrazione... thanks!