Spazio vettoriale Euclideo
Nello spazio vettoriale euclideo \(\displaystyle R^3 \)si considerino i vettori:
\(\displaystyle u (1,l,1) , v_l=(0,l,1) , w_l=(1,1,l)\)
1) Per quali valori di \(\displaystyle l \in R \) l'insieme ordinato \(\displaystyle S_l=(u,v_l,w_l) \) è un riferimento di \(\displaystyle R^3 \)
2) Se per \(\displaystyle l=2 \) l'insieme \(\displaystyle S_2=(u,v_2,w_2) \) è un riferimento di \(\displaystyle R^3 \), si determinino le componenti del vettore \(\displaystyle (2,3,2) \) rispetto a \(\displaystyle S_-1 \)
Procedimento intuitivo: (non so molto bene come fare perchè sono i miei primi approcci)
Per dimostrare che \(\displaystyle S_l \)è un riferimento di \(\displaystyle R^3 \) devo trovare una base ordinata di \(\displaystyle S_l \) in modo che risulti anche base di \(\displaystyle R^3 \) ?!?! correggetemi se sbaglio! però intuitivamente mi sembra che il vettore \(\displaystyle w=(1,1,l) \) si possa scrivere come combinazione lineare degli altri due e a questo punto lo escluderei per considerare una base, ma se devo trovare una base che sia anche base per \(\displaystyle R^3 \) non dovrebbe essere di dimensione 3 la base?
\(\displaystyle u (1,l,1) , v_l=(0,l,1) , w_l=(1,1,l)\)
1) Per quali valori di \(\displaystyle l \in R \) l'insieme ordinato \(\displaystyle S_l=(u,v_l,w_l) \) è un riferimento di \(\displaystyle R^3 \)
2) Se per \(\displaystyle l=2 \) l'insieme \(\displaystyle S_2=(u,v_2,w_2) \) è un riferimento di \(\displaystyle R^3 \), si determinino le componenti del vettore \(\displaystyle (2,3,2) \) rispetto a \(\displaystyle S_-1 \)
Procedimento intuitivo: (non so molto bene come fare perchè sono i miei primi approcci)
Per dimostrare che \(\displaystyle S_l \)è un riferimento di \(\displaystyle R^3 \) devo trovare una base ordinata di \(\displaystyle S_l \) in modo che risulti anche base di \(\displaystyle R^3 \) ?!?! correggetemi se sbaglio! però intuitivamente mi sembra che il vettore \(\displaystyle w=(1,1,l) \) si possa scrivere come combinazione lineare degli altri due e a questo punto lo escluderei per considerare una base, ma se devo trovare una base che sia anche base per \(\displaystyle R^3 \) non dovrebbe essere di dimensione 3 la base?
Risposte
1) L'insieme $ S_l $ è una base di $ RR^3 $ solo se i vettori $ u_l,v_l,w_l $ sono linearmente indipendenti. Ora, questi tre vettori non sono "fissi", ma variano a seconda del parametro $ l $. Quello che conviene fare in questo caso per vedere quando questi vettori sono linearmente indipendenti è svolgere il seguente determinante e controllare dove questo abbia valore diverso da zero.
$ det[ ( 1 , l , 1 ),( 0 , l , 1 ),( 1 , 1 , l ) ] $ . Svolgendolo otterrai che le soluzioni sono $ l!=+-1 $.
2) intendi dire si determinino le componenti del vettore $ (2,3,2) $ rispetto a $ S_2 $ ?
Sbagli, per vederlo basta prendere $ l=0 $ (in tal caso ti vengono tre vettori la cui combinazione lineare a coefficienti $ a,b,c $ fornisce $ a=0,b=0,c=0 $ )
$ det[ ( 1 , l , 1 ),( 0 , l , 1 ),( 1 , 1 , l ) ] $ . Svolgendolo otterrai che le soluzioni sono $ l!=+-1 $.
2) intendi dire si determinino le componenti del vettore $ (2,3,2) $ rispetto a $ S_2 $ ?
"navvu":
... però intuitivamente mi sembra che il vettore \( \displaystyle w=(1,1,l) \) si possa scrivere come combinazione lineare degli altri due e a questo punto lo escluderei per considerare una base, ma se devo trovare una base che sia anche base per \( \displaystyle R^3 \) non dovrebbe essere di dimensione 3 la base?
Sbagli, per vederlo basta prendere $ l=0 $ (in tal caso ti vengono tre vettori la cui combinazione lineare a coefficienti $ a,b,c $ fornisce $ a=0,b=0,c=0 $ )
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo