Spazio vettoriale delle funzioni integrabili
introducendo oggi gli integrali definiti il nostro professore ci ha sottolineato il fatto che le funzioni integrabili in un intervallo [a,b] formano uno spazio vettoriale.
la domanda allora mi è sorta spontanea questo pomeriggio mentre sistemavo gli appunti:
- se è uno spazio vettoriale, qual'è una base per questo spazio?
- che dimensione ha questo spazio?
grazie a tutti, ciaoo
la domanda allora mi è sorta spontanea questo pomeriggio mentre sistemavo gli appunti:
- se è uno spazio vettoriale, qual'è una base per questo spazio?
- che dimensione ha questo spazio?
grazie a tutti, ciaoo
Risposte
il vostro prof di Analisi vi ha anticipato qualche nozioncina sugli spazi di Hilbert. 
ti do due risposte "terra terra". la dimensione delle funzioni integrabili (a modulo integrabile, più correttamente) su un intervallo, ossia L^1[a,b] è infinita.
un sistema ortonormale completo (l'equivalente di una base) per tale spazio può essere ad esempio costruito con seni e coseni (base di Fourier) o con degli esponenziali complessi (che di fondo sono la stessa cosa).
ti do due risposte "terra terra". la dimensione delle funzioni integrabili (a modulo integrabile, più correttamente) su un intervallo, ossia L^1[a,b] è infinita.
un sistema ortonormale completo (l'equivalente di una base) per tale spazio può essere ad esempio costruito con seni e coseni (base di Fourier) o con degli esponenziali complessi (che di fondo sono la stessa cosa).
"wedge":
delle funzioni integrabili (a modulo integrabile, più correttamente) su un intervallo, ossia L^1[a,b] è infinita.
un sistema ortonormale completo (l'equivalente di una base) per tale spazio può essere ad esempio costruito con seni e coseni (base di Fourier) o con degli esponenziali complessi (che di fondo sono la stessa cosa).
[\mode rompiballe on]
L^1 non è L^2, wedge
....e non è uno spazio di hilbert... perlomeno il termine ortonormale è da correggere 
... [\mode rompiballe off]
azz.. quindi devo attendere almeno un altro anno per comprender 
grazie della risposta!!
nottee!
grazie della risposta!!
nottee!
"Thomas":
[quote="wedge"]
delle funzioni integrabili (a modulo integrabile, più correttamente) su un intervallo, ossia L^1[a,b] è infinita.
un sistema ortonormale completo (l'equivalente di una base) per tale spazio può essere ad esempio costruito con seni e coseni (base di Fourier) o con degli esponenziali complessi (che di fondo sono la stessa cosa).
[\mode rompiballe on]
L^1 non è L^2, wedge
....e non è uno spazio di hilbert... perlomeno il termine ortonormale è da correggere ... [\mode rompiballe off][/quote]
[\mode ancorapiùrombiballe on]
Tra l'altro lo spazio delle funzioni limitate ed integrabili alla Riemann su $[a,b]$ non è nemmeno $L^1([a,b])$.
[\mode ancorapiùrombiballe off]
Sappi semplicemente che è uno spazio vettoriale infinito dimensionale: comunque fissato $n in NN$ troviamo $n$ vettori linarmente indipendenti:
${1,x,x^2,...,x^n}$
sono linearmente indipendenti (discende dal principio di identità dei polinomi..)
Quindi lo spazio non ha dimensione finita.
${1,x,x^2,...,x^n}$
sono linearmente indipendenti (discende dal principio di identità dei polinomi..)
Quindi lo spazio non ha dimensione finita.
"gugo82":
[quote="Thomas"][quote="wedge"]
delle funzioni integrabili (a modulo integrabile, più correttamente) su un intervallo, ossia L^1[a,b] è infinita.
un sistema ortonormale completo (l'equivalente di una base) per tale spazio può essere ad esempio costruito con seni e coseni (base di Fourier) o con degli esponenziali complessi (che di fondo sono la stessa cosa).
[\mode rompiballe on]
L^1 non è L^2, wedge
....e non è uno spazio di hilbert... perlomeno il termine ortonormale è da correggere ... [\mode rompiballe off][/quote]
[\mode ancorapiùrombiballe on]
Tra l'altro lo spazio delle funzioni limitate ed integrabili alla Riemann su $[a,b]$ non è nemmeno $L^1([a,b])$.
[\mode ancorapiùrombiballe off][/quote]
Riemann vs Lebesgue... chi sarà il vincitore?
Trivial: Lebesgue $sub$ Riemann!
"Gaal Dornick":
Trivial: Lebesgue $sub$ Riemann!
La funzione di Dirichlet su $[a,b]$ è limitata ed integrabile secondo Lebesgue ma non secondo Riemann; d'altra parte una funzione è integrabile secondo Riemann se e solo se ha misura di Lebesgue nulla l'insieme dei suoi punti di discontinuità (Teorema di Vitali-Lebesgue), onde una funzione integrabile secondo Riemann è integrabile pure secondo Lebesgue (ed i due integrali coincidono).
Quindi mi sa che è il contrario.
è vero, avete ragione. ieri sera ho risposto un po' senza pensare.
benebene
grazie a tutti!
un'ultima curiosità che mi è venuta in mente oggi:
che relazione esiste tra lo spazio vettoriale delle funzioni integrabili in [a,b] e lo spazio delle funzioni differenziabili su [a,b]?
grazie a tutti!
un'ultima curiosità che mi è venuta in mente oggi:
che relazione esiste tra lo spazio vettoriale delle funzioni integrabili in [a,b] e lo spazio delle funzioni differenziabili su [a,b]?
"fu^2":
un'ultima curiosità che mi è venuta in mente oggi:
che relazione esiste tra lo spazio vettoriale delle funzioni integrabili in [a,b] e lo spazio delle funzioni differenziabili su [a,b]?
Il secondo è incluso nel primo...
Differenziabili $subset$ Continue $subset$ Integrabili
Comunque, per riassumere
1) lo spazio delle funzioni integrabili secondo Riemann su un intervallo è uno spazio vettoriale su $RR$. Come è stato detto da Gaal Dornick, non può avere dimensione finita. Amen. Non mi pare ci sia bisogno di sapere cos'è uno spazio di Hilbert...
2) gugo82 vs Gaal Dornick 1-0
Ok, come al solito intervengo a sproposito, ciao...
1) lo spazio delle funzioni integrabili secondo Riemann su un intervallo è uno spazio vettoriale su $RR$. Come è stato detto da Gaal Dornick, non può avere dimensione finita. Amen. Non mi pare ci sia bisogno di sapere cos'è uno spazio di Hilbert...
2) gugo82 vs Gaal Dornick 1-0
Ok, come al solito intervengo a sproposito, ciao...
"Gaal Dornick":
Trivial: Lebesgue $sub$ Riemann!
Doh! Giuro che lo sapevo. Sarò stato ubriaco..
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