Spazio vettoriale delle forme quadratiche

[thedarkhero]

Sia V spazio vettoriale di dimensione n su C. Che dimensione ha lo spazio vettoriale delle forme quadratiche su V?

Sia ${v_1,...,v_n}$ base di V.
Una base dello spazio delle forme quadratiche potrebbe essere l'insieme ${g_i(v_j)=delta_(i,j):1<=i<=n}$. Quindi anche la dimensione dello spazio delle forme quadratiche e' n?

[dissonance]

Secondo me è $n^2$.

[thedarkhero]

Perchè? Chi sarebbero gli $n^2$ elementi della base?

[gugo82]

"thedarkhero":Chi sarebbero gli $n^2$ elementi della base?

Tu lo dici (Jesu):

"thedarkhero":Sia ${v_1,...,v_n}$ base di V.
Una base dello spazio delle forme quadratiche potrebbe essere l'insieme ${g_i(v_j)=delta_(i,j):1<=i<=n}$.

Per determinare la dimensione basta rispondere a questa domanda: quante sono le combinazioni possibili degli indici [tex]$i,j$[/tex]?

[thedarkhero]

Ma se quella è una base allora la dimensione è n (non $n^2$), perchè io considero le n forme $g_i$. Ciascuna manda a 1 l'i-esimo vettore di base e a 0 gli altri. No?

[dissonance]

No aspettate ragazzi mi sa che non è $n^2$ ma un po' meno. Lo spazio delle forme quadratiche è (isomorfo al)lo spazio delle matrici simmetriche:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#374336

[thedarkhero]

Perche' forme quadratiche e matrici simmetrice hanno spazi vettoriali isomorfi?

[dissonance]

Beh questa è facile. Di cosa hai bisogno per individuare una forma quadratica (si intende che è stata fissata una base)? Di una matrice. Questa matrice è unica? No, ce ne sono infinite, ma solo una è simmetrica. Ricordati dell'identità di polarizzazione (anche nota come recovery formula).

[thedarkhero]

"gugo82":[quote="thedarkhero"]Chi sarebbero gli $n^2$ elementi della base?

Tu lo dici (Jesu):

"thedarkhero":Sia ${v_1,...,v_n}$ base di V.
Una base dello spazio delle forme quadratiche potrebbe essere l'insieme ${g_i(v_j)=delta_(i,j):1<=i<=n}$.

Per determinare la dimensione basta rispondere a questa domanda: quante sono le combinazioni possibili degli indici [tex]$i,j$[/tex]?[/quote]
Non devo contare le combinazioni degli indici $i,j$ ma i possibili valori dell'indice i. Per questo continuo a dire che sono $n$. Giusto?

[dissonance]

Non ho capito per quale motivo hai ignorato così i miei post. Comunque, se sei proprio convinto che la dimensione di quello spazio sia $n$, non avrai problemi a trovare una combinazione lineare nulla delle seguenti tre forme quadratiche su $RR^2$:

$q_1(x, y)=x^2;$
$q_2(x, y)=y^2;$
$q_3(x, y)=xy.$

visto che lo spazio delle forme quadratiche ha, come asserisci, dimensione $2$.

[thedarkhero]

Non ho ignorato i tuoi post, ho capito quello che hai detto ma siccome è in contrasto con quello che mi ha detto gugo ho chiesto una conferma anche a lui.
Effettivamente l'unica combinazione nulla è quella banale ma non capisco perchè la mia base sia sbagliata...(ovvio che lo è, questo l'ho capito).

[dissonance]

Ma infatti non c'è contraddizione tra quanto suggerisco io e quanto dice Gugo. Fai il conto combinatorio che suggerisce lui, poi calcola la dimensione dello spazio delle matrici simmetriche come suggerisco io (i conti li ha gentilmente già fatti Sergio nel post linkato): vedrai che verrà fuori lo stesso risultato. Ci stavo riflettendo poco fa: sono due interpretazioni diverse dello stesso numero combinatorio.

[thedarkhero]

Sono d'accordo sul fatto che lo spazio delle matrici simmetriche di ordine n ha dimensione $n(n+1)/2$.
Vorrei pero' capire chi puo' essere una base di questo spazio, in termini di applicazioni bilineari, perche' quella che ho proposto non lo e': ha solo n elementi.

[dissonance]

In termini di matrici non ti va bene? E' molto più facile. Una volta esibita una base di matrici poi ti basta calcolare le forme quadratiche associate per avere una base di forme quadratiche. In fin dei conti è a questo che servono le matrici!