Spazio vettoriale dei polinomi
Ciao a tutti!
Ho un problema con un esercizio che non riesco a risolvere, spero che qualcuno riesca a darmi una mano.
Vi copio il testo:
Sia R[x]3 lo spazio vettoriale dei polinomi di grado al più 3 in una variabile a coefficienti reali. Si consideri
l’endomorfismo f:R[x]3 -> R[x]3 definito da
$ f(a+bx+cx^2+dx^3)=(d^2)/(dx^2) (a+bx+cx^2+dx^3) $
(a) Stabilire, motivando adeguatamente la risposta, quale tra
$ A=( ( 2c , 6d , 0 , 0 ),( 0 , 2c , 6d , 0 ),( 0 , 0 , 2c , 6d ),( 6d , 0 , 0 , 2c ) ) $ $ B=( ( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ),( 6 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $ $ C=( ( 6dx , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 2c ) ) $ $ D=( ( 0 , 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 6 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
Come sempre ringrazio chi avrà voglia di darmi una mano a risolverlo =)
e la matrice di f rispetto alla base $ B=(x^3,1,x,x^2) $ di R[x]3.
(b) Calcolare dim(Im(f)) e trovare un sottoinsieme di R[x]3 che formi una base di Im(f).
(c) Mostrare che il polinomio $ p(x)=(18)/(19)-3x $
è un autovettore di f . Calcolare una base dell’autospazio di f contenente p(x).
(d) Determinare gli autovalori della matrice di f e stabilire se essa `e diagonalizzabile.
Ho un problema con un esercizio che non riesco a risolvere, spero che qualcuno riesca a darmi una mano.
Vi copio il testo:
Sia R[x]3 lo spazio vettoriale dei polinomi di grado al più 3 in una variabile a coefficienti reali. Si consideri
l’endomorfismo f:R[x]3 -> R[x]3 definito da
$ f(a+bx+cx^2+dx^3)=(d^2)/(dx^2) (a+bx+cx^2+dx^3) $
(a) Stabilire, motivando adeguatamente la risposta, quale tra
$ A=( ( 2c , 6d , 0 , 0 ),( 0 , 2c , 6d , 0 ),( 0 , 0 , 2c , 6d ),( 6d , 0 , 0 , 2c ) ) $ $ B=( ( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ),( 6 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $ $ C=( ( 6dx , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 2c ) ) $ $ D=( ( 0 , 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 6 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
Come sempre ringrazio chi avrà voglia di darmi una mano a risolverlo =)
e la matrice di f rispetto alla base $ B=(x^3,1,x,x^2) $ di R[x]3.
(b) Calcolare dim(Im(f)) e trovare un sottoinsieme di R[x]3 che formi una base di Im(f).
(c) Mostrare che il polinomio $ p(x)=(18)/(19)-3x $
è un autovettore di f . Calcolare una base dell’autospazio di f contenente p(x).
(d) Determinare gli autovalori della matrice di f e stabilire se essa `e diagonalizzabile.
Risposte
Che cosa hai provato a fare?
In realtà mi blocco in partenza per colpa di quel (d^2)/dx^2.
Non so come trattarlo.
Non so come trattarlo.
Quel simboli, a meno di bizzarrie dell'autore, indica l'operatore "derivata seconda": la sai calcolare?
"j18eos":
Quel simboli, a meno di bizzarrie dell'autore, indica l'operatore "derivata seconda": la sai calcolare?
Intanto ti ringrazio immensamente per avermi aperto un mondo
Abituato al mio docente che usa $ partial $ per indicare la derivata sono andato completamente nel pallone.
Comunque, calcolando la derivata seconda ottengo: 2c+6dx.
da qui però come ricavo la matrice?
Poiché:
si ha:
$f(x^3)=6x=0*x^3+0*1+6*x+0*x^2$
$f(1)=0=0*x^3+0*1+0*x+0*x^2$
$f(x)=0=0*x^3+0*1+0*x+0*x^2$
$f(x^2)=2=0*x^3+2*1+0*x+0*x^2$
si ha:
$B=[[0,0,0,0],[0,0,0,2],[6,0,0,0],[0,0,0,0]]$
Sì, ma almeno le prima quattro (4) righe le avrebbe potute calcolare Alessio_Ale, così da prendere confidenza con questo nuovo punto di vista!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo