Spazio vettoriale dato tramite sistema
Salve, devo risolvere (o meglio è già risolto ma non ho capito il procedimento) il seguente esercizio. Sia $U$ un sottospazio di $RR^4$ dato da:
$U = { ( 2x+y-2z=0 ),( 2x-y-2z+4t=0 ):} $
determinarne la dimensione e una base.
Per la dimensione vengono messi i coefficenti del sistema in una matrice e ne viene calcolata la caratteristica, che risulta 2.
$ A=( ( 2 , 1 , -2 , 0),(2 , -1 , -2 , 4 ) ) $
$rk(A) = 2$
Quindi la dimensione viene data da 4 (dimensione dello spazio $RR^4$) - 2 (la caratteristica) = 2, ovvero $dim(U)=2$.
Vi chiedo:
1) Le incognite del sistema cosa rappresentano? Credo che siano le componenti di un generico vettore dello spazio, cioè un generico vettore è del tipo $[x,y,z,t]^t$ e queste componenti sono in relazione tra di loro secondo quelle due equazioni, ma è solo una mia ipotesi
2) Perchè la dimensione dello spazio si calcola in quel modo. So che quello è il numero delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato, per il Teorema di Rouché-Capelli, ma ancora non capisco cosa c'entri con la dimensione dello spazio
Purtroppo il libro che ci fanno usare è molto "intuitivo", nel senso che ti spiega le cose di base e poi ti piomba esercizi con procedimenti che non ti ha spiegato (la parte di teoria non parla proprio di sottospazi dati tramite sistemi lineari, solo tramite generatori). Anzi se avete qualche link sarei felice di andarmelo a vedere.
Saluti
$U = { ( 2x+y-2z=0 ),( 2x-y-2z+4t=0 ):} $
determinarne la dimensione e una base.
Per la dimensione vengono messi i coefficenti del sistema in una matrice e ne viene calcolata la caratteristica, che risulta 2.
$ A=( ( 2 , 1 , -2 , 0),(2 , -1 , -2 , 4 ) ) $
$rk(A) = 2$
Quindi la dimensione viene data da 4 (dimensione dello spazio $RR^4$) - 2 (la caratteristica) = 2, ovvero $dim(U)=2$.
Vi chiedo:
1) Le incognite del sistema cosa rappresentano? Credo che siano le componenti di un generico vettore dello spazio, cioè un generico vettore è del tipo $[x,y,z,t]^t$ e queste componenti sono in relazione tra di loro secondo quelle due equazioni, ma è solo una mia ipotesi
2) Perchè la dimensione dello spazio si calcola in quel modo. So che quello è il numero delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato, per il Teorema di Rouché-Capelli, ma ancora non capisco cosa c'entri con la dimensione dello spazio
Purtroppo il libro che ci fanno usare è molto "intuitivo", nel senso che ti spiega le cose di base e poi ti piomba esercizi con procedimenti che non ti ha spiegato (la parte di teoria non parla proprio di sottospazi dati tramite sistemi lineari, solo tramite generatori). Anzi se avete qualche link sarei felice di andarmelo a vedere.
Saluti
Risposte
salve!
Come hai intuito, $(x,y,z,t)^T$ è un generico vettore di $\RR^4$.
Le equazioni che hai sono condizioni
di ortogonalità tra il generico vettore ed i due vettori:$h_1=(2,1,-2,0)^T$ e $h_2=(2,-1,-2,4)^T$.
Possiamo dire che $h_1$ ed $h_2$ sono vettori del sottospazio ortogonale ad $U$.
Considerando la caratteristica della matrice dei coefficienti, stai semplicemente vedendo la dimensione del sottospazio
generato dai due vettori, cioè l'ortogonale di $U$.
Perciò la dimensione di $U$ è $4 -dim(\botU)=4-2=2$.
Puoi considerare , in generale, che una equazione
rappresenti un vincolo, ovvero la diminuizione di gradi di libertà.
Per cui i gradi di libertà rimasti sono: i gradi di libertà totali meno i gradi di vincolo.
Per esempio: perchè in $\E^3$ la retta è definita mediante un sistema di 2 equazioni? -Perchè
devi lasciare un solo "grado di libertà". Così in 4 dimensioni avresti bisogno di 3 equazioni indipendenti, etc.
Come hai intuito, $(x,y,z,t)^T$ è un generico vettore di $\RR^4$.
Le equazioni che hai sono condizioni
di ortogonalità tra il generico vettore ed i due vettori:$h_1=(2,1,-2,0)^T$ e $h_2=(2,-1,-2,4)^T$.
Possiamo dire che $h_1$ ed $h_2$ sono vettori del sottospazio ortogonale ad $U$.
Considerando la caratteristica della matrice dei coefficienti, stai semplicemente vedendo la dimensione del sottospazio
generato dai due vettori, cioè l'ortogonale di $U$.
Perciò la dimensione di $U$ è $4 -dim(\botU)=4-2=2$.
Puoi considerare , in generale, che una equazione
rappresenti un vincolo, ovvero la diminuizione di gradi di libertà.
Per cui i gradi di libertà rimasti sono: i gradi di libertà totali meno i gradi di vincolo.
Per esempio: perchè in $\E^3$ la retta è definita mediante un sistema di 2 equazioni? -Perchè
devi lasciare un solo "grado di libertà". Così in 4 dimensioni avresti bisogno di 3 equazioni indipendenti, etc.
Dopo avere evidenziato la sottomatrice quadrata di rango 2, risolvi il sistema portando a secondo membro le variabili non coinvolte dalla sottomatrice.
Avrai allora esplicitato due variabili in funzione delle altre due, da considerare come parametri.
Così facendo determini anche una base: basta sostituire (1,0) e (0,1) nei parametri o, comunque, due vettori linearmente indipendenti qualsiasi, se ti vuoi fare del male.
Avrai allora esplicitato due variabili in funzione delle altre due, da considerare come parametri.
Così facendo determini anche una base: basta sostituire (1,0) e (0,1) nei parametri o, comunque, due vettori linearmente indipendenti qualsiasi, se ti vuoi fare del male.
@orazioster: Ti ringrazio molto per la spiegazione, ma non ho idea di cosa significhi che due vettori sono ortogonali tra di loro (cioè lo so ma solo nel piano cartesiano). L'ho cercato su wikipedia e poi su google ma ci vuole il concetto di prodotto scalare tra vettori, cosa che ho fatto solo in fisica, e cercando prodotto scalare ci vuole il concetto di forma bilineare (e non ho fatto manco quella), e sinceramente se la trattazione è così ampia preferisco rimandarla a dopo.
@speculor: si il procedimento l'ho capito. Ne volevo sapere le motivazioni.
Non è che si potrebbe spiegare senza usare il concetto di prodotto scalare tra vettori o spazi ortogonali?
@speculor: si il procedimento l'ho capito. Ne volevo sapere le motivazioni.
Non è che si potrebbe spiegare senza usare il concetto di prodotto scalare tra vettori o spazi ortogonali?
Puoi vederlo anche come il luogo di punti per cui valgono quelle particolari relazioni.
Ad esempio $y=x$ in $RR^2$ è il luogo dei punti per cui ascissa e ordinata coincidono, cioè è la retta bisettrice del primo e terzo quadrante.
Nel tuo caso hai due iperpiani, che si intersecano in un piano.
Ad esempio $y=x$ in $RR^2$ è il luogo dei punti per cui ascissa e ordinata coincidono, cioè è la retta bisettrice del primo e terzo quadrante.
Nel tuo caso hai due iperpiani, che si intersecano in un piano.
Dopo aver calcolato i due vettori della base, come risolveresti il problema inverso di determinare il sottospazio da loro generato?
Scriveresti una matrice 4x3 avente nelle prime 2 colonne i vettori della base e nella terza il vettore generico (x,y,z,t).
Come trovi l'equazione cartesiana del sottospazio? Imponendo che il vettore generico sia combinazione lineare dei 2 vettori della base.
Ma allora quella matrice deve avere sempre rango 2. Dopo avere identificato la sottomatrice numerica nell'angolo superiore sinistro, fai i due orlati 3x3 e imponi che il determinante sia zero. Ottieni così le equazioni di partenza.
Non so se riesci a seguirmi. Non sto usando il concetto di ortogonalità, solo quello di combinazione lineare.
Questo significa che almeno tu abbia le basi di questi argomenti.
Scriveresti una matrice 4x3 avente nelle prime 2 colonne i vettori della base e nella terza il vettore generico (x,y,z,t).
Come trovi l'equazione cartesiana del sottospazio? Imponendo che il vettore generico sia combinazione lineare dei 2 vettori della base.
Ma allora quella matrice deve avere sempre rango 2. Dopo avere identificato la sottomatrice numerica nell'angolo superiore sinistro, fai i due orlati 3x3 e imponi che il determinante sia zero. Ottieni così le equazioni di partenza.
Non so se riesci a seguirmi. Non sto usando il concetto di ortogonalità, solo quello di combinazione lineare.
Questo significa che almeno tu abbia le basi di questi argomenti.
"raffamaiden":
@orazioster: Ti ringrazio molto per la spiegazione, ma non ho idea di cosa significhi che due vettori sono ortogonali tra di loro (cioè lo so ma solo nel piano cartesiano). L'ho cercato su wikipedia e poi su google ma ci vuole il concetto di prodotto scalare tra vettori, cosa che ho fatto solo in fisica, e cercando prodotto scalare ci vuole il concetto di forma bilineare (e non ho fatto manco quella), e sinceramente se la trattazione è così ampia preferisco rimandarla a dopo.
@speculor: si il procedimento l'ho capito. Ne volevo sapere le motivazioni.
Non è che si potrebbe spiegare senza usare il concetto di prodotto scalare tra vettori o spazi ortogonali?
Quel che mi viene a dire è quello che ho già detto, e che cercherò di dire meglio.
Se non avessi condizioni espresse da equazioni, banalmente $U$ coinciderebbe con $\RR^4$.
Una equazione pone una restrizione agli $\infty^4$ vettori. -te ne rimangono perciò $\infty^3$.
Se le due equazioni sono indipendenti di restrizioni ne hai due -perciò sono $\infty^(4-2=2)$ i vettori di $U$, $U$ ha dimensione $2$.
Che la matrice ha rango $2$ infatti vuol dire che ha due righe indipendenti.
Cercavo di dirlo mediante le idee di "gradi di libertà" e "gradi di vincolo".
---
dal punto di vista dell'algebra lineare è stato già risposto.
Grazie, un'altra domanda....cosa succede se il sistema ammette una sola soluzione? Per esempio ho un sistema in tre incognite la cui soluzione è (3,4,5). In questo caso l'unico vettore che sta nello spazio è il vettore $ ( ( 3 ),( 4 ),( 5 ) ) $ è lo spazio ha dimensione 3-3=0. Una base qual'è? Il vettore dato non è una base, perchè qualsiasi sua combinazione lineare non sta più nello spazio. E comunque non è vero che spazi di dimensione 0 contengono solo il vettore nullo, posso contenere un vettore qualsiasi no?
"raffamaiden":
Grazie, un'altra domanda....cosa succede se il sistema ammette una sola soluzione? Per esempio ho un sistema in tre incognite la cui soluzione è (3,4,5). In questo caso l'unico vettore che sta nello spazio è il vettore $ ( ( 3 ),( 4 ),( 5 ) ) $ è lo spazio ha dimensione 3-3=0. Una base qual'è? Il vettore dato non è una base, perchè qualsiasi sua combinazione lineare non sta più nello spazio. E comunque non è vero che spazi di dimensione 0 contengono solo il vettore nullo, posso contenere un vettore qualsiasi no?
1) Se l'unica soluzione non è il vettore nullo, essa NON è uno spazio vettoriale.
2) Uno spazio vettoriale di dimensione zero contiene solo il vettore nullo.
Scusa per queste risposte stringate e non argomentate_
è perchè ora non ho tempo, ma ci tenevo comunque a chiarire questi punti.
"orazioster":
1) Se l'unica soluzione non è il vettore nullo, essa NON è uno spazio vettoriale.
2) Uno spazio vettoriale di dimensione zero contiene solo il vettore nullo.
Scusa per queste risposte stringate e non argomentate_
è perchè ora non ho tempo, ma ci tenevo comunque a chiarire questi punti.
ok grazie della risposta. E' un po' più chiaro ora .....
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