Spazio vettoriale complesso

[riccacasa]

Ho questo problema da proporvi
Data f :$\mathbb{C}^7$ $ \rightarrow$ {z $\in$ $C^4$ : (1 - i)$z_1$ + 2$z_2$ - $z_4$ =0} lineare surgettiva e
W $\subseteq C^7$ tale che W $ \cap $ Ker(f) = {0}, che dimensione può avere W?

Sul testo torna tra 3 e 0, ma a me torna tra 1 e 4. Non so dove sbaglio.

PS: scusate ma è la prima volta che inserisco qualcosa e non riesco ad usare i simboli LaTex, ho provato a copiarli ed incollarli ma a me pare non suia stata una buona idea. Grazie per l'aiuto che vorrete darmi.

So che dovrei proporre una mia sioluzione ma ho la mente molto confusa che la mia soluzione sono solo scarabocchi e niente di formalmente corretto, vi chiedo di risolvere il problema in modo formale così dalla prossima volta sarò ligio al dovere ed alle regole del forum. Vi ringrazio.

[robbstark1]

Senza fare molti conti direi che l'immagine ha dimensione $3 = 4-1$.
Se sei d'accordo su questo, per il teorema del rango, la dimensione del $ker f$ è $4=7-3$.
$W$ è chiaramente contenuto nel sottospazio complementare al $ker f$ quindi può avere dimensione al massimo $3$.

[riccacasa]

Grazie, credevo che quando si tratta di spazi in C occorre considerare dimensioni diverse ma forse il problema cel'ho a monte perché sinceramente non ho ben capito come varia la dimensione quando si considera C su C oppure C su R. Comunque grazie veramente, ho capito che devo trattare questi problemi come se fossero in R piuttosto che in C. Mi domando allora, ma perché il prof. usa quasi sempre C e non R?

[robbstark1]

Probabilmente questo ti basterà a chiarire:
http://it.wikipedia.org/wiki/Dimensione_(spazio_vettoriale)

[riccacasa]

Grazie! Quindi con questi esercizi si intende che siamo in C su campo C e allora le dimensioni si contano come se fosse tutto in R cioé lo stesso esercizio ma tutto su R. Vero?

[robbstark1]

Parrebbe di sì.