Spazio Vettoriale

[Alex_921]

Ragazzi, vorrei dimostrare che $V$$=$$R^2$ con queste leggi di composizione non è uno spazio vettoriale su $R$ :
(a) interna: $(x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+x_2, y_2)$
esterna: $\alpha$ $(x,y)$ = $\alpha$$x$, $\alpha$$y$

Non so come fare, dalla teoria so che per riconoscere se è uno spazio vettoriale dovrei applicare le 8 proprietà...devo agire così anche in questo caso? :S??

C'ho pensato un pò e ho detto...la condizione sufficiente è che una delle otto proprietà non sia soddisfatta, dimostro che non è soddisfatta $\alpha$ $(v + w)$ $=$ $\alpha$$v$ $+$ $\alpha$$w$

$\alpha$ $($ $(x_1,y_1) + (x_2,y_2)$$)$ $≠$ $\alpha$ $(x_1+x_2, y_2)$

$\alpha$ $(x_1,x_2)$ , $\alpha$ $(y_1,y_2)$ $≠$ $\alpha$ $(x_1,x_2)$ , $\alpha$ $(y_2)$

Che ne dite???

[Principe2]

Se fai i conti bene ti rendi conto che quella proprieta' e' verificata!

Ricordati che la somma, in uno spazio vettoriale, deve essere commutativa. E' commutativa quella?

[Alex_921]

Ok no... Per dimostrarlo va bene scrivere solamente:

$(x_1 , y_1) + (x_2 , y_2) ≠ (x_2 , y_2) + (x_1 , y_1)$
poichè
$(x_2 , y_2) + (x_1 , y_1) = (x_1 + x_2 , y_2)$

$(x_2 + x_1) , (y_2 + y_1) = (x_2 + x_1) , (0 + y_2)$

[Principe2]

si devi dimostrare quello, ma lo hai fatto male. Rifallo.

[Alex_921]

Dove ho sbagliato, a secondo membro dell'ultima???

$(x_2 + x_1), (y_2 + y_1) = (x_2 + x_1), y_2$

[Principe2]

$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_2)$, mentre invece $(x_2,y_2)+(x_1,y_1)=(x_2+x_1,y_1)$, che sono diversi non appena $y_1\ne y_2$.

[Alex_921]

Grazie!