Spazio vettoriale $_|_$
Buongiorno a tutti
Allora, iniziamo
1) Dato $u$ un vettore non nullo di $R^3$, definiamo
$V = {v in R^3 | v _|_ u}$, ovvero V è il sottoinsieme dei vettori perpendicolari a u.
V è un sottospazio vettoriale di $R^3$?
Per questo tipo di esercizi applico sempre lo stesso procedimento, ovvero cerco di dimostrare tre condizioni.
1) $0 in V$
2) presi $v_1, v_2 in V$ allora $v_1+v_2 in V$
3) preso $alpha in R, v_1 in V$ allora $alpha*v_1 in V$
sappiamo che due vettori sono ortogonali tra loro se il loro prodotto scalare è uguale a 0. Quindi la condizioni di V può essere riscritta come $v*u = 0$, giusto?
1)il primo punto è verificato se v_1 è il vettore nullo.
2) Come sempre per questi esercizi prendo due vettori generici dell'insieme in questione.
In questo caso $v_1 = (x_1,y_1,z_1), v_2 = (x_2, y_2, z_2)$.
Trovo la somma dei vettori $v_1+v_2 = (x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$ e con questo nuovo vettore somma cerco di soddisfare la condizione del sistema. $v_1+v_2 _|_ u$.
Questo significa che, preso $u = (a, b, c)$ non nullo, il prodotto scalare deve essere $(v_1+v_2)(u) = 0$.
Noto che, scrivere $v*u=0$, sapendo che siamo in $R^3$ è come scrivere $(v_1, v_2, v_3)(a, b, c) = 0$ e ancora $(v_1*a) = 0
, (v_2*b) = 0, (v_3*c) = 0$. Allora sviluppando il prodotto avrò la seguente equazione $a(x_1+x_2)+b(y_1+y_2)+c(z_1+z_2) = 0$ e per il ragionamento fatto prima ogni membro si annulla, corretto?
per il terzo punto il procedimento è praticamente lo stesso del punto due.
Può andare?
Grazie
Allora, iniziamo
1) Dato $u$ un vettore non nullo di $R^3$, definiamo
$V = {v in R^3 | v _|_ u}$, ovvero V è il sottoinsieme dei vettori perpendicolari a u.
V è un sottospazio vettoriale di $R^3$?
Per questo tipo di esercizi applico sempre lo stesso procedimento, ovvero cerco di dimostrare tre condizioni.
1) $0 in V$
2) presi $v_1, v_2 in V$ allora $v_1+v_2 in V$
3) preso $alpha in R, v_1 in V$ allora $alpha*v_1 in V$
sappiamo che due vettori sono ortogonali tra loro se il loro prodotto scalare è uguale a 0. Quindi la condizioni di V può essere riscritta come $v*u = 0$, giusto?
1)il primo punto è verificato se v_1 è il vettore nullo.
2) Come sempre per questi esercizi prendo due vettori generici dell'insieme in questione.
In questo caso $v_1 = (x_1,y_1,z_1), v_2 = (x_2, y_2, z_2)$.
Trovo la somma dei vettori $v_1+v_2 = (x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$ e con questo nuovo vettore somma cerco di soddisfare la condizione del sistema. $v_1+v_2 _|_ u$.
Questo significa che, preso $u = (a, b, c)$ non nullo, il prodotto scalare deve essere $(v_1+v_2)(u) = 0$.
Noto che, scrivere $v*u=0$, sapendo che siamo in $R^3$ è come scrivere $(v_1, v_2, v_3)(a, b, c) = 0$ e ancora $(v_1*a) = 0
, (v_2*b) = 0, (v_3*c) = 0$. Allora sviluppando il prodotto avrò la seguente equazione $a(x_1+x_2)+b(y_1+y_2)+c(z_1+z_2) = 0$ e per il ragionamento fatto prima ogni membro si annulla, corretto?
per il terzo punto il procedimento è praticamente lo stesso del punto due.
Può andare?
Grazie
Risposte
Non ho ben capito cosa fai qua
Comunque la tesi la puoi ottenere subito sfruttando la bilinearità del prodotto scalare
"maxpix":
Noto che, scrivere $v*u=0$, sapendo che siamo in $R^3$ è come scrivere $(v_1, v_2, v_3)(a, b, c) = 0$ e ancora $(v_1*a) = 0
, (v_2*b) = 0, (v_3*c) = 0$. Allora sviluppando il prodotto avrò la seguente equazione $a(x_1+x_2)+b(y_1+y_2)+c(z_1+z_2) = 0$ e per il ragionamento fatto prima ogni membro si annulla, corretto?
Comunque la tesi la puoi ottenere subito sfruttando la bilinearità del prodotto scalare
li sto svolgendo il prodotto scalare tra v e u. $v_1, v_2, v_3, a ,b, c$ sono rispettivamente le componenti dei vettori.
e quindi poi sto applicando il concetto di vettori ortogonali ai vettori $v_1+v_2$ e $u$
e quindi poi sto applicando il concetto di vettori ortogonali ai vettori $v_1+v_2$ e $u$
Ci sono casi in cui è meglio generalizzare, come consiglia Marco.
Tu sai soltanto che $*$ è un prodotto scalare, quindi...
$vec(0)*v=(vec(0)+vec(0))*v=vec(0)*v+vec(0)*v$ quind $vec(0)*v=0$
Da questo ottieni che $vec(0) _|_ v$
Se $u,w$ sono ortogonali a $v$ allora $u*v=w*v=0$
Quindi $(u+w)*v=u*v+w*v=0+0=0$ pertanto $(u+w) _|_ v$
Se $lambda inK$ e $u$ è ortogonale a $v$ allora $u*v=0$
Quindi $(lambdau)*v=lambda(u*v)=lambda*0=0$ quindi $lambdau _|_ v$
Fine
Tu sai soltanto che $*$ è un prodotto scalare, quindi...
$vec(0)*v=(vec(0)+vec(0))*v=vec(0)*v+vec(0)*v$ quind $vec(0)*v=0$
Da questo ottieni che $vec(0) _|_ v$
Se $u,w$ sono ortogonali a $v$ allora $u*v=w*v=0$
Quindi $(u+w)*v=u*v+w*v=0+0=0$ pertanto $(u+w) _|_ v$
Se $lambda inK$ e $u$ è ortogonale a $v$ allora $u*v=0$
Quindi $(lambdau)*v=lambda(u*v)=lambda*0=0$ quindi $lambdau _|_ v$
Fine
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