Spazio topologico quoziente

[Ernesto011]

Salve,
Ho il seguente esercizio:
Descrivere la topologia indotta dalla relazione di equivalenza su $X=(R^3,tau)$ (topologia euclidea) che identifica come unico punto, tutti i punti di $A$
$A={(x,y,z) in R^3| y=0}$

Considero la proiezione
$pi:R^3->R^3/~ $

$pi(x)=[x]$

Sia $T$ la topologia quoziente, allora $B in T$ se e solo se $p^-1(B)$ è aperto in $X$
Chiamo $[m]$ la classe di equivalenza di $A$ e distinguo due casi:

1) $B sub R^3/~$ e $[m]notinB$ allora $B$ è aperto se e solo se $B$ è aperto in $X$

2) $B sub R^3/~$ e $[m]inB$, allora $B$ è aperto se e solo se $p^-1(B)$ è aperto in $X$ , quindi solo se $B uu A$ è aperto in $X$

Io ho concluso qui, è esauriente? Quando ti chiedono di descrivere o studiare uno spazio topologico, vuol dire chiedere "quali sono gli aperti" oppure ti chiede anche di studiare compattezza, connessione, hausdorff ect?

[j18eos]

Nella prima considerazione stai dando per scontato che \(\displaystyle X\setminus A\) è omeomorfo a \(\displaystyle\left(X_{\displaystyle/\sim}\right)\setminus\{[A]\}=Y\setminus\{[A]\}\); prova a dimostrarlo!

Il secondo punto è formalmente errato!

E per rispondere alla tua domanda: sì, devi completare lo studio!

Ti dico che quando fai collassare un chiuso di uno spazio di Hausdorff a un punto, non è assicurato che il nuovo spazio sia ancòra di Hausdorff (esempio).