Spazio topologico "bucato"
Oggi ho provato a risolvere il seguente esercizio, di cui non conosco la soluzione:
Sol.:
(1)
Il vuoto appartiene a $\tau$ per definizione, e $RR^2$ lo ottengo non togliendo nessuna retta o punto.
Detta $A_i$ una famiglia finita di aperti, la loro intersezione è ancora un aperto, privato di un numero finito di punti (quelli comuni a ciascun $A_i$, ammesso che ve ne siano) e rette (quelle comuni a entrambi, sempre nel caso ce ne siano).
L'unione invece di una famiglia arbitraria di aperti resta ancora un sottoinsieme di $RR^2$ privato di un numero finito di punti o rette, poiché ad ogni $A_i$ ne sto togliendo un numero finito.
(2)Non è evidentemente $T_2$,e ho notato che dato un punto ${x} $ ho che $C_{RR^2}({x})=RR^2 - {x} \in \tau$ e pertanto ogni punto è un chiuso e quindi $(X, \tau)$ è $T_1 => T_0$.
(3) Secondo me non è compatto. Se prendo come ricoprimento aperto $RR^2$ privato di tutte le rette verticali $x=x_i$ con $x_i \in [-1,1]$, non posso estrarre un sotto-ricoprimento finito.
Può andare ? spero di non aver detto troppe sciocchezze
Testo
Sia $\tau$ la famiglia di sottoinsiemi di $RR^2$ formata dal vuoto e da ogni sottoinsieme costituito da $RR^2$ meno un numero finito di rette e punti.
(1) Dimostrare che $\tau$ è una topologia su $RR^2$
(2) Stabilire se $(RR^2, \tau)$ è $T_0,T_1,T_2$.
(3) Stabilire se l'insieme $C={(x,y) \in RR^2: x^2+y^2<1}$ è compatto.
Sol.:
(1)
Il vuoto appartiene a $\tau$ per definizione, e $RR^2$ lo ottengo non togliendo nessuna retta o punto.
Detta $A_i$ una famiglia finita di aperti, la loro intersezione è ancora un aperto, privato di un numero finito di punti (quelli comuni a ciascun $A_i$, ammesso che ve ne siano) e rette (quelle comuni a entrambi, sempre nel caso ce ne siano).
L'unione invece di una famiglia arbitraria di aperti resta ancora un sottoinsieme di $RR^2$ privato di un numero finito di punti o rette, poiché ad ogni $A_i$ ne sto togliendo un numero finito.
(2)Non è evidentemente $T_2$,e ho notato che dato un punto ${x} $ ho che $C_{RR^2}({x})=RR^2 - {x} \in \tau$ e pertanto ogni punto è un chiuso e quindi $(X, \tau)$ è $T_1 => T_0$.
(3) Secondo me non è compatto. Se prendo come ricoprimento aperto $RR^2$ privato di tutte le rette verticali $x=x_i$ con $x_i \in [-1,1]$, non posso estrarre un sotto-ricoprimento finito.
Può andare ? spero di non aver detto troppe sciocchezze
Risposte
Sui primi due non ho nulla da ridire, sono giusti, nel terzo va puntualizzato qualcosa, ovvero, intanto va scritto meglio, e poi $x_i\in(-1,1)$ invece che in quello chiuso. Il ricoprimento io lo scriverei così: ${(x,y)\inRR^2:x!=x_i}_(x_i\in(-1,1))$.
Secondo me non va bene, due elementi qualsiasi di quel ricoprimento sono un ricoprimento finito di $RR^2$.
Direi che manca anche un po' di formalità. Per il punto 1 ti consiglio di dimostrare le proprietà topologiche equivalenti per i chiusi , che sono più facili concettualmente da visualizzare.
Per il punto (3) , per lo stesso motivo, ti consiglio di usare la proprietà di intersezione finita che è equivalente alla proprietà di compattezza ma utilizza i chiusi.
Direi che manca anche un po' di formalità. Per il punto 1 ti consiglio di dimostrare le proprietà topologiche equivalenti per i chiusi , che sono più facili concettualmente da visualizzare.
Per il punto (3) , per lo stesso motivo, ti consiglio di usare la proprietà di intersezione finita che è equivalente alla proprietà di compattezza ma utilizza i chiusi.
Hai ragione, ho sbagliato.
grazie a tutti e due per i consigli 
A @Ernesto01: perciò i punti e le rette (in numero finito) costituiscono degli insiemi chiusi ( poiché i complementari sono insiemi aperti per definizione di $\tau$.
Non capisco ancora però come muovermi con (3)...di solito parto prendendo un ricoprimento aperto finito... ma con i chiusi non ho ben capito quale sia il procedimento
A @Ernesto01: perciò i punti e le rette (in numero finito) costituiscono degli insiemi chiusi ( poiché i complementari sono insiemi aperti per definizione di $\tau$.
Non capisco ancora però come muovermi con (3)...di solito parto prendendo un ricoprimento aperto finito... ma con i chiusi non ho ben capito quale sia il procedimento
Così dovrebbe andare...
Sia $\mathcal U=\{U_i\}$ un ricoprimento aperto di $C$. Se considero un aperto $U_1$, allora a questo mancheranno un numero finito di punti $p_1,...,p_n$ e un numero finito di rette $r_1,...,r_d$. Per coprire ogni punto, dal momento che $\mathcal U=\{U_i\}$ è ricoprimento prendo $n$ insiemi $V_i \subset \mathcal U=\{U_i\}$ che coprano i punti. Per ciascuna retta $r_i$, uno degli $U_j$ contiene $r_i$ più un numero finito $n_i$ di punti eventualmente rimossi. Perciò prendo altri $n_i$ aperti (poiché $\mathcal U=\{U_i\}$ è ricoprimento) per coprire l'insieme.
Ma allora ho trovato un ricoprimento formato da $n+ \sum_{i=1-}^{d} n_i$ sottoinsimi di $\mathcal U=\{U_i\}$
Sia $\mathcal U=\{U_i\}$ un ricoprimento aperto di $C$. Se considero un aperto $U_1$, allora a questo mancheranno un numero finito di punti $p_1,...,p_n$ e un numero finito di rette $r_1,...,r_d$. Per coprire ogni punto, dal momento che $\mathcal U=\{U_i\}$ è ricoprimento prendo $n$ insiemi $V_i \subset \mathcal U=\{U_i\}$ che coprano i punti. Per ciascuna retta $r_i$, uno degli $U_j$ contiene $r_i$ più un numero finito $n_i$ di punti eventualmente rimossi. Perciò prendo altri $n_i$ aperti (poiché $\mathcal U=\{U_i\}$ è ricoprimento) per coprire l'insieme.
Ma allora ho trovato un ricoprimento formato da $n+ \sum_{i=1-}^{d} n_i$ sottoinsimi di $\mathcal U=\{U_i\}$
Io intendevo di seguire questa strada:
Uno spazio $X$ è compatto se e solo se ogni famiglia di insiemi chiusi ${C_i}$ a intersezione nulla ammette una sottofamiglia finita a intersezione nulla. E' facile verificare che tale proprietà è equivalente alla compattezza utilizzando praticamente soltanto la definizione e le leggi di de morgan.
I chiusi di $RR^2$ sono come li hai definiti tu, mentre i chiusi di $C$ sono unione finita di corde e punti del disco. Impostato così il problema sembra più semplice e geometrico.
Tornando alla tua soluzione:
Non mi sembra giusta, a meno che non riesci a motivare il fatto che per ogni retta mancante esiste un aperto che la contiene completamente. Sarebbe da aggiustare un po'.
Un controesempio alla tua dimostrazione, fissata una $r$ per l'origine qualsiasi, è dato dal ricoprimento aperto $R={C\\r} uu {C\\{p}}_(p in r)$. Se prendi $C\\r$ come insieme $U_1$ della tua dimostrazione, nessun aperto del ricoprimento contiene completamente la retta $r$
Uno spazio $X$ è compatto se e solo se ogni famiglia di insiemi chiusi ${C_i}$ a intersezione nulla ammette una sottofamiglia finita a intersezione nulla. E' facile verificare che tale proprietà è equivalente alla compattezza utilizzando praticamente soltanto la definizione e le leggi di de morgan.
I chiusi di $RR^2$ sono come li hai definiti tu, mentre i chiusi di $C$ sono unione finita di corde e punti del disco. Impostato così il problema sembra più semplice e geometrico.
Tornando alla tua soluzione:
Non mi sembra giusta, a meno che non riesci a motivare il fatto che per ogni retta mancante esiste un aperto che la contiene completamente. Sarebbe da aggiustare un po'.
Un controesempio alla tua dimostrazione, fissata una $r$ per l'origine qualsiasi, è dato dal ricoprimento aperto $R={C\\r} uu {C\\{p}}_(p in r)$. Se prendi $C\\r$ come insieme $U_1$ della tua dimostrazione, nessun aperto del ricoprimento contiene completamente la retta $r$
Ci provo: sia ${C_i}$ una famiglia di chiusi a intersezione nulla che coprono il mio insieme $X={(x,y):x^2+y^2<1}$.
Prendo $C_1$. Poiché è chiuso e fa parte del ricoprimento allora esistono un numero finito di punti $p_1,..,p_n$ e un numero finito di rette $r_1,...,r_d$ tali che non stanno in nessun altro chiuso ma che stanno in $X$... Ora però non so come andare avanti:
Prendo $C_1$. Poiché è chiuso e fa parte del ricoprimento allora esistono un numero finito di punti $p_1,..,p_n$ e un numero finito di rette $r_1,...,r_d$ tali che non stanno in nessun altro chiuso ma che stanno in $X$... Ora però non so come andare avanti:
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