Spazio topologico connesso
Ho provato a dimostrare che:
lo spazio topologico X è connesso se e solo se ogni funzione continua $f:X->Y=({0,1},tau_(discr))$ è costante.
Prova:
Supponiamo X connesso e sia f definita come sopra continua. Siccome {0} in Y è sia aperto che chiuso, poiché f è continua $f^(-1)({0})$ è sia aperto che chiuso. Per la connessione di X, $f^(-1)({0})=X$ oppure$ f^(-1)({0})=emptyset$. Supponiamo sia $f^(-1)({0})=X$, ma $f(f^(-1)({0}))=f(X)subseteq{0}$, ossia $f(X)={0}$.
Viceversa, sia U aperto e chiuso non vuoto, allora $X-U$ è sia aperto che chiuso. Supponiamo sia $f(X)={0}$, allora $f(U)=f(X-U)={0}$. Sia $A=f^(-1)({0})=f^(-1)(f(U))=f^(-1)(f(X-U))$. Quindi $UsubseteqA$ e anche $X-UsubseteqA$, che sono compatibili $<=>U=X$.
Funziona, ci sono errori? grazie in anticipo.
lo spazio topologico X è connesso se e solo se ogni funzione continua $f:X->Y=({0,1},tau_(discr))$ è costante.
Prova:
Supponiamo X connesso e sia f definita come sopra continua. Siccome {0} in Y è sia aperto che chiuso, poiché f è continua $f^(-1)({0})$ è sia aperto che chiuso. Per la connessione di X, $f^(-1)({0})=X$ oppure$ f^(-1)({0})=emptyset$. Supponiamo sia $f^(-1)({0})=X$, ma $f(f^(-1)({0}))=f(X)subseteq{0}$, ossia $f(X)={0}$.
Viceversa, sia U aperto e chiuso non vuoto, allora $X-U$ è sia aperto che chiuso. Supponiamo sia $f(X)={0}$, allora $f(U)=f(X-U)={0}$. Sia $A=f^(-1)({0})=f^(-1)(f(U))=f^(-1)(f(X-U))$. Quindi $UsubseteqA$ e anche $X-UsubseteqA$, che sono compatibili $<=>U=X$.
Funziona, ci sono errori? grazie in anticipo.
Risposte
La prima parte si la seconda no, fai così considera una funzione che vale $0$ in $U$ e...
Ci riprovo: consideriamo $f:X->Y$ continua e sia $UsubseteqX$ aperto e chiuso, per la discretezza di Y e la continuità di f posso supporre $ U=f^(-1)(0)$. D'altra parte f è costante, dunque deve essere $f^(-1)(0)=X vee f^(-1)(0)=emptyset$, cioè $U=X vee U=emptyset$.
No, segui il mio consiglio considera una funzione che vale $0$ in $U$ e $1$ in $X\setminusU$.
Cosa devi dimostrare?
Cosa devi dimostrare?
Che X=U, giusto?
Un po' mi sta confondendo il fatto di usare come ipotesi il secondo membro: se considero una funzione continua definita da X in Y, allora essa è costante. Quindi parto prendendo f continua e costante, che assume 0 in U e 1 in X-U? Oppure la conseguenza di "allora" deve essere impiegata diversamente?
grazie della disponibilità
Un po' mi sta confondendo il fatto di usare come ipotesi il secondo membro: se considero una funzione continua definita da X in Y, allora essa è costante. Quindi parto prendendo f continua e costante, che assume 0 in U e 1 in X-U? Oppure la conseguenza di "allora" deve essere impiegata diversamente?
grazie della disponibilità
Giusto, quindi sulla base del mio suggerimento, il fatto che la funzione sia continua lo dimostri, il fatto che sia costante lo deduci (dovrai pur sfruttare l'ipotesi in qualche modo) e poi concludi.
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