Spazio topologico con gruppo fondamentale isomorfo a un gruppo $G$ abeliano finitamente generato
Sia $G$ un gruppo abeliano finitamente generato. Si costruisca uno spazio topologico $X$ compatto, connesso per archi, T2 e tale che il gruppo fondamentale di $X$ sia isomorfo a $G$.
Inzialmente (dato che questo esercizio si trova nella sezione "Quozienti di poligoni") volevo in qualche modo trovare una relazione che legasse $G$ con $X$ assumendo $X$ come poligono (tipo un azione di gruppo), ma non sono arrivato a niente, per cui ho provatoa fare un altro modo:
Se $G$ è infinito se prendo $X=S^1xxS^1xx...xxS^1$ questo è compatto, connesso per archi e T2, inoltre $pi_1(X)~=ZZxxZZxx...xxZZ~=G$. Il caso $G$ finito non sono riuscito ancora a trovare $X$. Però credo che si può costruire un unico spazio $X$ indipendentemente dal fatto che $G$ sia infinito oppure no.
Inzialmente (dato che questo esercizio si trova nella sezione "Quozienti di poligoni") volevo in qualche modo trovare una relazione che legasse $G$ con $X$ assumendo $X$ come poligono (tipo un azione di gruppo), ma non sono arrivato a niente, per cui ho provatoa fare un altro modo:
Se $G$ è infinito se prendo $X=S^1xxS^1xx...xxS^1$ questo è compatto, connesso per archi e T2, inoltre $pi_1(X)~=ZZxxZZxx...xxZZ~=G$. Il caso $G$ finito non sono riuscito ancora a trovare $X$. Però credo che si può costruire un unico spazio $X$ indipendentemente dal fatto che $G$ sia infinito oppure no.
Risposte
Cioè secondo te l'unico gruppo abeliano finitamente generato e infinito che esiste è un prodotto di copie di Z.
"megas_archon":
Cioè secondo te l'unico gruppo abeliano finitamente generato e infinito che esiste è un prodotto di copie di Z.
Ci devo aggiungere le somme dirette di gruppi ciclici di ordine $d$? (quindi isomorfi a $ZZ_{/d}$?)
E' davvero una domanda di cui non sai la risposta?
Non dovrebbe essere una domanda di cui non sai la risposta, oppure algebra 1 l'hai passata per errore.
In ogni caso, ecco due hint:
1. Per ogni $n\ge 2$, esiste uno spazio topologico il cui gruppo fondamentale è ciclico di ordine $n$;
2. se $X,Y$ sono spazi topologici, \(\pi_1(X\times Y)\cong \pi_1(X)\times \pi_1(Y)\).
In effetti, non sono hint, ti ho proprio già detto come si fa... Fai almeno un granello di fatica tu, ok?
In ogni caso, ecco due hint:
1. Per ogni $n\ge 2$, esiste uno spazio topologico il cui gruppo fondamentale è ciclico di ordine $n$;
2. se $X,Y$ sono spazi topologici, \(\pi_1(X\times Y)\cong \pi_1(X)\times \pi_1(Y)\).
In effetti, non sono hint, ti ho proprio già detto come si fa... Fai almeno un granello di fatica tu, ok?
Eh no in algebra 1 non abbiamo trattato specificatamente i gruppi abeliani finitamente generati (mi sono informato da solo) piuttosto abbiamo trattato un po di insiemistica, aritmetica modulare, gruppi in generale, ciclici, diedrale, il gruppo $S^n$ molto approfonditamente, le azioni di gruppo e i teoremi di Syllow. Mi dispiace per questo ma se non l'ho trattato (magari si tratterà in corsi di algebra più specifici tipo quelli opzionali o non so) non è colpa mia. Comunque dando uno sguardo in giro ho trovato questo:
Comunque per la 1) direi sia $n ≥ 1$ un intero. Sia $ζ = e^((2pii)/n)$. Su $D^2 = {zinCC | |z| ≤ 1}$ si consideri la relazione di equivalenza $∼_n$ data da: per ogni $z, z_0inD^2$, $z ∼_n z_0$ se e solo se $z = z_0$ oppure ($|z| = |z_0| = 1$ ed esiste $kinZZ$ tale che $z_0 = ζ^kz$). Lo spazio topologico quoziente $D^2//∼_n$ è ciclico di ordine $n$.
Comunque per la 1) direi sia $n ≥ 1$ un intero. Sia $ζ = e^((2pii)/n)$. Su $D^2 = {zinCC | |z| ≤ 1}$ si consideri la relazione di equivalenza $∼_n$ data da: per ogni $z, z_0inD^2$, $z ∼_n z_0$ se e solo se $z = z_0$ oppure ($|z| = |z_0| = 1$ ed esiste $kinZZ$ tale che $z_0 = ζ^kz$). Lo spazio topologico quoziente $D^2//∼_n$ è ciclico di ordine $n$.
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