Spazio topologico banale
Ho un dubbio (forse sciocco) sulla seguente:
Una funzione su uno spazio topologico banale (a valori in un qualsiasi spazio topologico) è continua se e solo se è costante.
Dato che una funzione costante è continua su qualsiasi spazio topologico l'implicazione verso sinistra è immediata; se la funzione ad ogni elemento del sostegno dello spazio del dominio associa un certo elemento a del sostegno dello spazio del codominio, basta far vedere che presa una generica topologia e un generico suo aperto, la controimmagine di quest'ultimo è il sostegno dello spazio topologico sul dominio se a è un elemento del suddetto aperto altrimenti è il vuoto, in entrambi i casi si ha un aperto banale quindi c'è continuità.
Non riesco a capire perché è soddisfatta anche l'implicazione verso destra, cioè come si prova che una funzione continua su uno spazio banale è sempre costante?
Ricordando una caratterizzazione della continuità e applicando l'ipotesi che sul dominio ci sia uno spazio banale, si può dire che per ogni aperto del codominio la sua controimmagine è vuota o è il sostegno dello spazio sul dominio. A questo punto non riesco a capire arrivare a dimostrare che f sia costante.
Grazie a tutti in anticipo
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Una funzione su uno spazio topologico banale (a valori in un qualsiasi spazio topologico) è continua se e solo se è costante.
Dato che una funzione costante è continua su qualsiasi spazio topologico l'implicazione verso sinistra è immediata; se la funzione ad ogni elemento del sostegno dello spazio del dominio associa un certo elemento a del sostegno dello spazio del codominio, basta far vedere che presa una generica topologia e un generico suo aperto, la controimmagine di quest'ultimo è il sostegno dello spazio topologico sul dominio se a è un elemento del suddetto aperto altrimenti è il vuoto, in entrambi i casi si ha un aperto banale quindi c'è continuità.
Non riesco a capire perché è soddisfatta anche l'implicazione verso destra, cioè come si prova che una funzione continua su uno spazio banale è sempre costante?
Ricordando una caratterizzazione della continuità e applicando l'ipotesi che sul dominio ci sia uno spazio banale, si può dire che per ogni aperto del codominio la sua controimmagine è vuota o è il sostegno dello spazio sul dominio. A questo punto non riesco a capire arrivare a dimostrare che f sia costante.
Grazie a tutti in anticipo
Risposte
Cosa sarebbe uno spazio topologico banale?
Se per spazio topologico si intende un qualsiasi insieme (non vuoto) \(\displaystyle X\) su cui si considera la topologia \(\displaystyle\{\emptyset,X\}\): prova a considerare una funzione che assume (almeno) due valori distinti su \(\displaystyle X\): cosa accade?
"j18eos":
Se per spazio topologico si intende un qualsiasi insieme (non vuoto) \(\displaystyle X\) su cui si considera la topologia \(\displaystyle\{\emptyset,X\}\): prova a considerare una funzione che assume (almeno) due valori distinti su \(\displaystyle X\): cosa accade?
Se per spazio topologico banale si intende quello con la topologia iniziale, allora il claim è falso, ad esempio l'identità da $X$ in sè stesso è continua ma non è necessariamente costante.
"hydro":Cioè stai affermando che ho sbagliato? Oppure tu stai considerando la topologia in cui tutti i sottoinsiemi di \(\displaystyle X\) sono aperti?
[...] Se per spazio topologico banale si intende quello con la topologia iniziale, allora il claim è falso, ad esempio l'identità da $X$ in sè stesso è continua ma non è necessariamente costante.
Sto dicendo che se OP con "spazio topologico banale" intende uno spazio topologico con la topologia minima (quella con due soli aperti), allora il suo claim è falso.
Dato che sono stordiVo oggi (e non solo oggi):
dici che \(\displaystyle Id_X\) è continua per \(\displaystyle(X\supseteq\{a\neq b\},\{X,\emptyset\})\), quando poi \(\displaystyle Id_X^{-1}(a)=\{a\}\) non è un aperto...
dici che \(\displaystyle Id_X\) è continua per \(\displaystyle(X\supseteq\{a\neq b\},\{X,\emptyset\})\), quando poi \(\displaystyle Id_X^{-1}(a)=\{a\}\) non è un aperto...
No, $\{a\}$ non è un aperto. Quindi la natura della sua controimmagine è irrilevante ai fini della continuità...
Ecco cosa mi sfuggiva...
...e per riparare ecco la soluzione.
Esercizio. Sia \(\displaystyle X_1\) uno spazio topologico tale che per ogni coppia di chiusi non vuoti la loro intersezione sia non vuota. Sia \(\displaystyle X_2\) uno spazio topologico in cui ogni punto sia chiuso. Dimostrare che un'applicazione \(\displaystyle f:X_1\to X_2\) è continua se e solo se è costante.
Fonte: G. Tallini (1991) Strutture Geometriche Liguori Editori. Parte seconda, Capitolo secondo, Sezione 13, Esercizio 4.
...e per riparare ecco la soluzione.
Esercizio. Sia \(\displaystyle X_1\) uno spazio topologico tale che per ogni coppia di chiusi non vuoti la loro intersezione sia non vuota. Sia \(\displaystyle X_2\) uno spazio topologico in cui ogni punto sia chiuso. Dimostrare che un'applicazione \(\displaystyle f:X_1\to X_2\) è continua se e solo se è costante.
Fonte: G. Tallini (1991) Strutture Geometriche Liguori Editori. Parte seconda, Capitolo secondo, Sezione 13, Esercizio 4.
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