Spazio tangente

[miuemia]

ciao a tutti ho una domanda stupida, forse!
eccola quà:
supponiamo che in $RR^{5}$ ho questo insieme ${f(x,y,z,t,u)=g(x,y,z,t,u)=0}$ e supponiamo che tale insieme implcitamente una varietà di dimensione 3.
esiste una relazione tra le derivate parziali di $f$ e di $g$ rispetto alle variabili con lo spazio tangente alla varietà?????

[Sk_Anonymous]

Il gradiente di f e il gradiente di g sono vettori che appartengono al complemento ortogonale dello spazio tangente in un punto di coordinate
(x0,y0,z0,t0,u0) appartenente alla varietà.
Imponendo le due condizioni di perpendicolarità con il generico vettore (x-x0,y-y0,z-z0,t-t0,u-u0) determini lo spazio tangente

[dissonance]

Certamente. Linearizzando le equazioni della varietà ottieni le equazioni dello spazio tangente. In altri termini le equazioni dello spazio tangente hanno per coefficienti le derivate parziali di $f$ e di $g$.

[miuemia]

@dissonance: mi potresti spiegare meglio quello che hai scritto? in che modo posso linearizzare le equazioni? mi potresti fare un esempio per favore?
grazie.

[dissonance]

Voglio dire: se $f(x_0, y_0, z_0, t_0, u_0)=g(x_0, y_0, z_0, t_0, u_0)=0$ allora le equazioni dello spazio tangente sono

${((\partial f)/(\partial x)(x_0, y_0, z_0, t_0, u_0)(xi-x_0)+ (\partial f)/(\partial y)(x_0, y_0, z_0, t_0, u_0)(eta-y_0)+...=0), ((\partial g)/(\partial x)(x_0, y_0, z_0, t_0, u_0)(xi-x_0)+ (\partial g)/(\partial y)(x_0, y_0, z_0, t_0, u_0)(eta-y_0)+...=0):}$

EDIT: Ho corretto le equazioni, mi ero dimenticato di centrarle in $(x_0, y_0, z_0, t_0, u_0)$. Faccio notare, nel caso non si fosse capito, che queste equazioni sono meramente la traduzione in linguaggio analitico del concetto geometrico descritto da speculor.

[miuemia]

grazie mille! vediamo se ho capito. supponiamo in $RR^2$ che $f(x,y)=0$ definisca implicitamente una funzione adesso visto che $(f_{x},f_{y})$ è un vettore normale alla curva, la mia domanda è questa se per esempio $f_{y}=0$ cosa posso dire dello spazio tangente della curva? cioè vale a dire la curva si muoverà in direzione $y$??? non riesco a tradurre geometricamente l'annullarsi di una delle due componenti di $(f_{x},f_{y})$

grazie

[dissonance]

"miuemia":se per esempio $f_{y}=0$ cosa posso dire dello spazio tangente della curva? cioè vale a dire la curva si muoverà in direzione $y$???

Puoi dire che il vettore normale alla curva è parallelo a $(1, 0)$. Fai un disegno e vedi che significa.

[miuemia]

se il vettore normale è parallelo a $(1,0)$ allora vuol dire vhe la curva non si muove in quella direzione cioè va lungo la direzione di $y$?? sbagliato?

ad esempio se $f(x,y)=x$ allora $f_y =0$ e infatti è l'asse delle $y$. giusto?

[miuemia]

ho detto una stupidata?

[dissonance]

Ma si, dai, è giusto. Non credo davvero tu abbia bisogno di conferme su cose così elementari.

Però...

ad esempio se $f(x, y)=x$ allora $f_y=0$ e infatti è l'asse delle $y$.

??? Che cosa stai dicendo? Cosa sarebbe l'asse delle $y$?

[miuemia]

si effettivamente è un piano quello...scusa!

[miuemia]

per asse $y$ intendo che l'insieme $f(x,y)=0$ è la retta $x=0$