Spazio somma e intersezione di sottospazi di matrici simmetriche ed emisimmetriche
Ciao a tutti, rieccomi di nuovo con l'ennesimo esercizio:
Siano \(\displaystyle U \),\(\displaystyle V \) i sottospazi di \(\displaystyle \mathbb{R}^{n,n} \) così definiti: \(\displaystyle U \) è il sottospazio delle matrici simmetriche e \(\displaystyle V \) è il sottospazio delle matrici emisimmetriche. Calcolare \(\displaystyle U \cap V \) e \(\displaystyle U + V \) per \(\displaystyle n=2,3,4 \). Quale è la situazione generale?
Per \(\displaystyle n = 2 \)
\(\displaystyle U = \left\{\begin{pmatrix}a&c\\c&d\end{pmatrix}:a,c,d \in \mathbb{R}\right\} = \mathcal{L}\left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right\} \)
\(\displaystyle V = \mathcal{L}\left\{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\right\} \)
\(\displaystyle U+V = \mathcal{L}\left\{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right\} \)
Le matrici si vede abbastanza chiaramente che sono linearmente indipendenti (per verificarlo potrei scrivere le matrici generatrici come combinazione lineare delle matrici della base canonica per poi sistemare i coefficienti in una matrice e ridurla? Mi sembra che questo metodo funzioni, se qualcuno ha un metodo più veloce farebbe comodo), ora, per la formula di Grassman deduciamo subito che \(\displaystyle U \cap V = 0\). Insomma l'unica matrice ad essere sia simmetrica che antisimmetrica è la matrice nulla, sembra abbastanza intuitivo, ma come faccio per gli altri casi? Già per \(\displaystyle n = 3 \) lo spazio somma mi verrebbe come combinazione lineare di 9 matrici, e poi ancora 16... Insomma, mi sembra eccessivo, non penso sia questo lo scopo dell'esercizio...
In generale deduco che lo spazio somma coinciderà con \(\displaystyle \mathbb{R}^{n,n} \) e l'intersezione sarà sempre data dalla matrice nulla della taglia opportuna?
Come dimostrereste il caso generale, e come fareste l'esercizio a vostro modo? Come dico sempre sono i primi esercizi di questo tipo che incontro, non vorrei utilizzare procedimenti inutilmente laboriosi se non del tutto errati.
Come al solito grazie a tutti dell'attenzione e per l'aiuto, a presto!
Siano \(\displaystyle U \),\(\displaystyle V \) i sottospazi di \(\displaystyle \mathbb{R}^{n,n} \) così definiti: \(\displaystyle U \) è il sottospazio delle matrici simmetriche e \(\displaystyle V \) è il sottospazio delle matrici emisimmetriche. Calcolare \(\displaystyle U \cap V \) e \(\displaystyle U + V \) per \(\displaystyle n=2,3,4 \). Quale è la situazione generale?
Per \(\displaystyle n = 2 \)
\(\displaystyle U = \left\{\begin{pmatrix}a&c\\c&d\end{pmatrix}:a,c,d \in \mathbb{R}\right\} = \mathcal{L}\left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right\} \)
\(\displaystyle V = \mathcal{L}\left\{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\right\} \)
\(\displaystyle U+V = \mathcal{L}\left\{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right\} \)
Le matrici si vede abbastanza chiaramente che sono linearmente indipendenti (per verificarlo potrei scrivere le matrici generatrici come combinazione lineare delle matrici della base canonica per poi sistemare i coefficienti in una matrice e ridurla? Mi sembra che questo metodo funzioni, se qualcuno ha un metodo più veloce farebbe comodo), ora, per la formula di Grassman deduciamo subito che \(\displaystyle U \cap V = 0\). Insomma l'unica matrice ad essere sia simmetrica che antisimmetrica è la matrice nulla, sembra abbastanza intuitivo, ma come faccio per gli altri casi? Già per \(\displaystyle n = 3 \) lo spazio somma mi verrebbe come combinazione lineare di 9 matrici, e poi ancora 16... Insomma, mi sembra eccessivo, non penso sia questo lo scopo dell'esercizio...
In generale deduco che lo spazio somma coinciderà con \(\displaystyle \mathbb{R}^{n,n} \) e l'intersezione sarà sempre data dalla matrice nulla della taglia opportuna?
Come dimostrereste il caso generale, e come fareste l'esercizio a vostro modo? Come dico sempre sono i primi esercizi di questo tipo che incontro, non vorrei utilizzare procedimenti inutilmente laboriosi se non del tutto errati.
Come al solito grazie a tutti dell'attenzione e per l'aiuto, a presto!
Risposte
"LogicalCake":
... l'unica matrice ad essere sia simmetrica che antisimmetrica è la matrice nulla ...
Matrice simmetrica
$[1 lt= i lt= n] ^^ [1 lt= j lt= n]$
$a_(ij)=a_(ji)$
Matrice antisimmetrica
$[1 lt= i lt= n] ^^ [1 lt= j lt= n]$
$a_(ij)=-a_(ji)$
Sistema
$[1 lt= i lt= n] ^^ [1 lt= j lt= n]$
$\{(a_(ij)=a_(ji)),(a_(ij)=-a_(ji)):} rarr 2a_(ij)=0 rarr a_(ij)=0$
Ciao, grazie della risposta, questo risolve una volta per tutte il problema per l’intersezione nel caso generale. Per quanto riguarda la somma, che discorso dovrei impostare? Mi basterebbe dire che \(\displaystyle \dim U \cap V = 0 \) per cui \(\displaystyle \dim U + V = \dim U + \dim V \). Quindi \(\displaystyle U+V \) sarebbe semplicemente dato dalla combinazione lineare di tutti e solo i generatori di \(\displaystyle U \) e di \(\displaystyle V \)? Come dimostro che la somma copre tutto \(\displaystyle \mathbb{R}^{n,n} \)? Sempre se così sia…. Grazie tante dell’aiuto!
"LogicalCake":
Calcolare \(\displaystyle U \cap V \) e \(\displaystyle U + V \) ...
A rigore, anche nel caso generale, basta il teorema di Grassmann.
Grazie tante!
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