Spazio simplettico curvo
Buongiorno a tutti!
La questione è forse banale, e sto cercando di indirizzarla solo a grandi linee.
Posto che la struttura simplettica non contempla invarianti locali quali la curvatura, ma che tuttavia vi può essere una varietà che dispone sia di una struttura simplettica che di una struttura riemanniana, mi chiedevo: esistono spazi delle fasi (quelli ordinari della meccanica hamiltoniana) curvi?
In alcuni testi si dice che uno spazio delle fasi è flat per definizione. Però esistono anche spazi reali quali il biconformal space, che è curvo: sono anche questi flat per teorema di Darboux o no?
PS: naturalmente non parlo di spazi delle fasi dove è esclusivamente lo spazio delle configurazioni ad essere curvo.
La questione è forse banale, e sto cercando di indirizzarla solo a grandi linee.
Posto che la struttura simplettica non contempla invarianti locali quali la curvatura, ma che tuttavia vi può essere una varietà che dispone sia di una struttura simplettica che di una struttura riemanniana, mi chiedevo: esistono spazi delle fasi (quelli ordinari della meccanica hamiltoniana) curvi?
In alcuni testi si dice che uno spazio delle fasi è flat per definizione. Però esistono anche spazi reali quali il biconformal space, che è curvo: sono anche questi flat per teorema di Darboux o no?
PS: naturalmente non parlo di spazi delle fasi dove è esclusivamente lo spazio delle configurazioni ad essere curvo.
Risposte
Non capisco la tua domanda:
Tutte le varieta' paracompatte ammettono una metrica riemanniana, definita col solito trucco della partizione dell'unita'. Quindi non ha molto senso chiedere se esistano varieta' simplettiche curve. Esistono, certamente. Magari puo' esserti d'aiuto leggere una fonte? Prova a dare un'occhiata qui http://poisson.phc.unipi.it/~angella/li ... ennale.pdf
vi può essere una varietà che dispone sia di una struttura simplettica che di una struttura riemanniana, mi chiedevo: esistono spazi delle fasi (quelli ordinari della meccanica hamiltoniana) curvi?
Tutte le varieta' paracompatte ammettono una metrica riemanniana, definita col solito trucco della partizione dell'unita'. Quindi non ha molto senso chiedere se esistano varieta' simplettiche curve. Esistono, certamente. Magari puo' esserti d'aiuto leggere una fonte? Prova a dare un'occhiata qui http://poisson.phc.unipi.it/~angella/li ... ennale.pdf
Grazie killing_buddha, mi sembra non sia la prima volta che mi rispondi 
!
La ragionevolezza suggerisce indubbiamente la tua risposta.
Ma perché allora quasi ogni testo/articolo su cui ho guardato tratta gli spazi delle fasi come varietà piatte "per definizione"?
!La ragionevolezza suggerisce indubbiamente la tua risposta.
Ma perché allora quasi ogni testo/articolo su cui ho guardato tratta gli spazi delle fasi come varietà piatte "per definizione"?
Mi servirebbe un riferimento ai testi/articoli di cui parli. La cosa e' priva di significato anche per me, detta cosi' (ma sono l'ultimo a cui puoi fare domande di geometria strictu sensu).
Due esempi al volo:
http://books.google.it/books?id=PxytO6e ... &q&f=false
Pag. 94
The theoretical reason why the treatment of the and as Cartesian in a 2f
dimensional phase space that is defined to be flat does not conflict with the fact that f
dimensional Lagrangian configuration space may be curved is explained by the
geometric (meaning Lie-algebraic) interpretation of the fundamental Poisson bracket
relations
http://books.google.it/books?id=Pd8-s6r ... &q&f=false
Pag.222
For calculations in symplectic geometry it may be useful to impose some
euclidean structure on the symplectic space.[..]
http://books.google.it/books?id=PxytO6e ... &q&f=false
Pag. 94
The theoretical reason why the treatment of the and as Cartesian in a 2f
dimensional phase space that is defined to be flat does not conflict with the fact that f
dimensional Lagrangian configuration space may be curved is explained by the
geometric (meaning Lie-algebraic) interpretation of the fundamental Poisson bracket
relations
http://books.google.it/books?id=Pd8-s6r ... &q&f=false
Pag.222
For calculations in symplectic geometry it may be useful to impose some
euclidean structure on the symplectic space.[..]
Scusa il ritardo; ci ho riflettuto qualche minuto dati gli impegni di varia natura che mi hanno fagocitato (senza contare che sono anni che ho cose molto diverse per la testa). Non vedo nessuna contraddizione o asserzione strana nelle frasi che hai quotato; solo magari sono scritte in modo un po' ingarbugliato (tipico di molti libri sull'argomento, purtroppo). Credo che tutto si risolva nel dare ad una varietà simplettica una metrica riemanniana. Credo che un buon punto di partenza sia il diagramma che trovi a pagina 27 della [url=http://www.dm.unipi.it/~angella/lib/exe/fetch.php?media=03-research:tesi_specialistica.pdf#page=37]tesi[/url] di D. Angella,Proprietà coomologiche di varietà quasi complesse e deformazioni (che sostanzialmente è l'origine delle poche cose che so a riguardo; non mi vergogno a dire che la geometria simplettica è la parte di geometria differenziale che più mi affascina, ma non mi vergogno nemmeno a dire che sono troppo scemo per capirla davvero):
Da qui si evince che se non altro le varietà simplettiche stanno dentro quella quasihermitiane (che è ragionevole pensare come un analogo delle varietà riemanniane in ambito quasi-complesso). Sicché tu hai un modo naturale di pensare che le varietà simplettiche abbiano una metrica quasi-hermitiana, e da questa dovrebbe originare la definizione che sta usando uno dei due libri.
Da qui si evince che se non altro le varietà simplettiche stanno dentro quella quasihermitiane (che è ragionevole pensare come un analogo delle varietà riemanniane in ambito quasi-complesso). Sicché tu hai un modo naturale di pensare che le varietà simplettiche abbiano una metrica quasi-hermitiana, e da questa dovrebbe originare la definizione che sta usando uno dei due libri.
Figurati!, ti sono grato invece del tempo che mi hai dedicato!
Se dici di essere""scemo"", ebbene io sono decisamente molto più scemo di te, perché è da tre giorni che, nel tempo libero dallo studio, mi sto rincitrullendo su questa questione, senza trovare (o capire) una risposta.
Alla fine l'idea che mi son fatto è che gli spazi delle fasi classici, sottoinsieme delle varietà simplettiche, essendo fibrati cotangenti, non ammettano altra struttura riemanniana oltre quella euclidea. Forse quello che davvero ancora mi sfugge è il nesso tra varietà kahleriane e Teorema di Darboux.
Se dici di essere""scemo"", ebbene io sono decisamente molto più scemo di te, perché è da tre giorni che, nel tempo libero dallo studio, mi sto rincitrullendo su questa questione, senza trovare (o capire) una risposta.
Alla fine l'idea che mi son fatto è che gli spazi delle fasi classici, sottoinsieme delle varietà simplettiche, essendo fibrati cotangenti, non ammettano altra struttura riemanniana oltre quella euclidea. Forse quello che davvero ancora mi sfugge è il nesso tra varietà kahleriane e Teorema di Darboux.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo