Spazio quoziente ottenuto per collassamento
Dunque, eccomi davanti all ennesimo dubbio topologico, questa volta di natura un po' piu' "creativa".
Supponiamo per comodita' di lavorare per ora solo su $RR^2$.
Sia quindi$ A$ un sottoinsieme qualsiasi di $RR^2$.
Sia $X=RR^2/A$ lo spazio quoziente identificando tutti i punti di A in un unico punto.
Si chiede ora se X sia compatto, di Hausdroff e connesso.
La connessione vien da se' in quanto il quoziente di un connesso e' connesso (varrebbe anche per la compattezza ma in questo caso non possiamo usufruirne).
Bene, ora, dato che in questi esercizi la dimostraizione della compattezza e dell' "Husdorfficita'" mi mandano sempre nel pallone, riusciamo a trovare delle caratteristiche di A tali che ci portano a delle conseguenze al quoziente, per esempio:
se A e' del tipo $(a,b) $, intervallo, mi verrebbe da supporre che il quoziente non e' di Hausdorff, perche' i punti a e b non possiedono intorni disgiunti, infatti hanno i loro intorni originali collassati l un con l altro... si puo' generalizzare questa cosa a un caso piu esteso? o trovare altre implicazioni di questo tipo, per esempio se A e' infinito, connesso o altro..
vediamo che salta fuori..
Supponiamo per comodita' di lavorare per ora solo su $RR^2$.
Sia quindi$ A$ un sottoinsieme qualsiasi di $RR^2$.
Sia $X=RR^2/A$ lo spazio quoziente identificando tutti i punti di A in un unico punto.
Si chiede ora se X sia compatto, di Hausdroff e connesso.
La connessione vien da se' in quanto il quoziente di un connesso e' connesso (varrebbe anche per la compattezza ma in questo caso non possiamo usufruirne).
Bene, ora, dato che in questi esercizi la dimostraizione della compattezza e dell' "Husdorfficita'" mi mandano sempre nel pallone, riusciamo a trovare delle caratteristiche di A tali che ci portano a delle conseguenze al quoziente, per esempio:
se A e' del tipo $(a,b) $, intervallo, mi verrebbe da supporre che il quoziente non e' di Hausdorff, perche' i punti a e b non possiedono intorni disgiunti, infatti hanno i loro intorni originali collassati l un con l altro... si puo' generalizzare questa cosa a un caso piu esteso? o trovare altre implicazioni di questo tipo, per esempio se A e' infinito, connesso o altro..
vediamo che salta fuori..
Risposte
No. Non ci sono particolari risultati generali che ti facilitino il lavoro, a quanto ne so. Questo è un esercizio proposto da alvinlee qualche settimana fa:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#476030
ma, appunto, è solo un esercizio. Teoremi proprio decisivi mi risulta che non ce ne siano. Ti devi arrangiare ogni volta.
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#476030
ma, appunto, è solo un esercizio. Teoremi proprio decisivi mi risulta che non ce ne siano. Ti devi arrangiare ogni volta.
Ci sono degli accorgimenti utili. Per esempio se riesci a trovare un sottospazio $Y$ compatto tale che la restrizione della proiezione al quoziente a $Y$ sia surgettiva (ovvero, becchi tutti i rappresentanti in $Y$), allora lo spazio quoziente è immagine continua (tramite la restrizione della proiezione) di un compatto, e quindi è compatto. Occhio che anche se $\pi (Y)$ e $\pi(X)$ ($X$ è lo spazio topologico grosso da cui siamo partiti, $RR^2$ nel tuo caso) hanno, come è ovvio, gli stessi punti (classi), non è detto che siano omeomorfi come spazi topologici (perchè?). Analogo discorso si può fare per la connessione. La separabilità invece nei casi di collassamento può venire brutta a piacere 
Occhio che anche se π(Y) e π(X) (X è lo spazio topologico grosso da cui siamo partiti, ℝ2 nel tuo caso) hanno, come è ovvio, gli stessi punti (classi), non è detto che siano omeomorfi come spazi topologici (perchè?)
Non ho capito benissimo la domanda ma la risposta potrebbe essere che è perchè la proiezione non è iniettiva?
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