Spazio quoziente hausdorff

[Diseee1]

Ciao!
Vi espongo questo problema: "su \( (R,\varepsilon _1) \) si consideri la relazione di equivalenza $ x~ y\Leftrightarrow x-y\in \mathbb{Q} $ . Si dica se \( \mathbb{R} / \sim \) è Hausdorff.

Ho la soluzione ma davvero non riesco a capire come questo possa dimostrare che due elementi non equivalenti hanno aperti saturi disgiunti...

Dice così: non è Hausdorff. Siano $ A_0$ e $ A_1$ aperti in \( (R,\varepsilon _1) \) saturi e sia $ x_0 \in A_0$ e $ x_1 \in A_1$. Se $\varepsilon > 0$ è tale che $ x_0 \in A_0$ per $|x-x_0|<\varepsilon $, sia $ q \in \mathbb {Q} $ tale che $|x_1+q -x_0|<\varepsilon $. Allora $ x_1 +q \in A_0 \nn A_1$ che dunque non è vuoto.

[spugna2]

Sappiamo che due aperti hanno sempre intersezione non vuota, ma allora se prendiamo due punti nello spazio quoziente, diciamo $[x_1]$ e $[x_2]$, e due intorni di questi ultimi, diciamo $B_1$ e $B_2$, allora per definizione di intorno esistono due aperti $A_1 \subseteq B_1$ e $A_2 \subseteq B_2$ contenenti rispettivamente $[x_1]$ e $[x_2]$, ma $A_1 \cap A_2$ non è vuoto, e a maggior ragione non lo è nemmeno $B_1 \cap B_2$, cioè lo spazio non è di Hausdorff.

[Diseee1]

"spugna":Sappiamo che due aperti hanno sempre intersezione non vuota

In che senso?