Spazio quoziente di Hausdorff
Dunque io ho una domand apuramente logica che potrebbe dirsi un dubbio di definizione.
Sia $X$ uno spazio di Hausdorff, r una relazione,e X/r lo spazio quoziente.
La domanda è se $X/r$ è di Hausdorff.
IL mio dubbio è il seguente:
Affinchè X/r sia di Hausdorff ci deve essere separazione tra i punti di X o di X/r?
Faccio un esempio:
$X=RR^2$
$xry$ sse $|x|,|y|>1$
Qundi X/r è composto da un cerchio aperto di raggio uno e un punto esterno in cui è collassato l' intero restante piano.
Affinchè X/r sia di Hausdorff cosa devo verificare?
ovvero presi due punti di $RR^2$ qualsiasi nello spazio quoziente sono indistinguibili, quindi lo spazio quoziente non è di Hausdorff,
oppure
presi 2 punti qualsiasi di X/r questi possono essere separati da 2 intorni disgiunti, ergo X/r è T2?
grazie..
Sia $X$ uno spazio di Hausdorff, r una relazione,e X/r lo spazio quoziente.
La domanda è se $X/r$ è di Hausdorff.
IL mio dubbio è il seguente:
Affinchè X/r sia di Hausdorff ci deve essere separazione tra i punti di X o di X/r?
Faccio un esempio:
$X=RR^2$
$xry$ sse $|x|,|y|>1$
Qundi X/r è composto da un cerchio aperto di raggio uno e un punto esterno in cui è collassato l' intero restante piano.
Affinchè X/r sia di Hausdorff cosa devo verificare?
ovvero presi due punti di $RR^2$ qualsiasi nello spazio quoziente sono indistinguibili, quindi lo spazio quoziente non è di Hausdorff,
oppure
presi 2 punti qualsiasi di X/r questi possono essere separati da 2 intorni disgiunti, ergo X/r è T2?
grazie..
Risposte
Proprio di recente ne abbiamo parlato, qui:
https://www.matematicamente.it/forum/spa ... 66599.html
Comunque, è chiaro che la verifica la devi fare nel quoziente, è quello lo spazio topologico.
https://www.matematicamente.it/forum/spa ... 66599.html
Comunque, è chiaro che la verifica la devi fare nel quoziente, è quello lo spazio topologico.
ok, ma nel mio caso specifico quando prendo come x e y un punto che sta nel cerchio e il punto isolato, secondo me posso prendere due intorni diversi disgiunti perchè il punto staccato è prorpio lontano... 
Non vorrei dire fesserie, la butto lì giusto come idea. Prendi un punto del quoziente esterno alla tua circonferenza, $[x]_\rho$ allora un suo intorno aperto è ${[x]_\rho}$.
Per provare che è aperto nel quoziente basta trovare un aperto saturo in $X$, la cui immagine tramite la surgezione canonica sia proprio ${[x]_\rho}$. Allora prendi $A={x in RR^2| |x|>1}$. Questo è aperto per la topologia naturale, perchè unione di aperti. Saturo per costruzione e l'immagine mediante $pi$ è proprio ${[x]_\rho}$. Quindi direi che va bene.
Ora devi prendere un intorno di un altro elemento e far vedere che son disgiunti, ma a questo punto credo sia facile.
Però, insomma prendi tutto con il beneficio del dubbio
Per provare che è aperto nel quoziente basta trovare un aperto saturo in $X$, la cui immagine tramite la surgezione canonica sia proprio ${[x]_\rho}$. Allora prendi $A={x in RR^2| |x|>1}$. Questo è aperto per la topologia naturale, perchè unione di aperti. Saturo per costruzione e l'immagine mediante $pi$ è proprio ${[x]_\rho}$. Quindi direi che va bene.
Ora devi prendere un intorno di un altro elemento e far vedere che son disgiunti, ma a questo punto credo sia facile.
Però, insomma prendi tutto con il beneficio del dubbio
Dato che è sempre lo stesso tema continuo qua la discussione..
Fino ad ora per risolvere gli esercizi di topologia mi sono sempre voluto ricondurre ad una visualizzazione mentale per poi risolvere la cosa ma mi sono accorto che arrivati a un certo punto questo non è più possibile. vi do l esempio:
Sia definita la seguente relazione di equivalenza su $RR^n$:
x r y sse $x=2^n*y$ per un qualche n intero.
Ora si chiede se lo spazio quoziente $RR^n/r$ è connesso, compatto e di Hausdorff..
io qui davvero non so che fare.
ho qualche idea ma metterla nel formale mi riesce davvero difficile, più che altro perchè è impossibile visualizzarsi la cosa, ma soprattutto non vorrei visualuzzarmela e vorrei provare di risolvere la cosa solo formalmente..
Fino ad ora per risolvere gli esercizi di topologia mi sono sempre voluto ricondurre ad una visualizzazione mentale per poi risolvere la cosa ma mi sono accorto che arrivati a un certo punto questo non è più possibile. vi do l esempio:
Sia definita la seguente relazione di equivalenza su $RR^n$:
x r y sse $x=2^n*y$ per un qualche n intero.
Ora si chiede se lo spazio quoziente $RR^n/r$ è connesso, compatto e di Hausdorff..
io qui davvero non so che fare.
ho qualche idea ma metterla nel formale mi riesce davvero difficile, più che altro perchè è impossibile visualizzarsi la cosa, ma soprattutto non vorrei visualuzzarmela e vorrei provare di risolvere la cosa solo formalmente..
up
I quozienti di connessi e compatti sono connessi e compatti.
Per mostrare che è $T_2$ potresti far vedere che $R$ è un chiuso di $RR \times RR \times ... \times RR$, che forse è più semplice che visualizzare il quoziente.
Per mostrare che è $T_2$ potresti far vedere che $R$ è un chiuso di $RR \times RR \times ... \times RR$, che forse è più semplice che visualizzare il quoziente.
Stavo pensando ad una cosa, non l'ho approfondita per cui verifica un po' perchè potrebbe non essere giusta.
Fissa $x in RR^n$ e considera $A={S(x,\epsilon) \cup S(y,\epsilon)| y \rho x}$. E' ovviamente un aperto saturo. Se consideri $pi(A)=\bar(A) in RR^n//\rho$ ove $pi(A)=S([x],\epsilon)$, cioè l'intorno sferico di centro $[x]$ e raggio $epsilon$.
Da cui provare che sia $T_2$ non dovrebbe essere difficile.
Presi due elementi $\bar(x), \bar(y)$ distinti, cioè che non sono in relazione, si ha $S(x,epsilon),S(y,epsilon)$ son disgiunti per un $epsilon$ opportuno.
Supponi ora che $S(\bar(x),epsilon) nn S(\bar(y),epsilon)$ non siano separati, allora $\bar(z)$ in tale intersezione. Per cui $pi^(-1)(\bar(z)) in pi^(-1) (S(\bar(x),epsilon) nn S(\bar(y),epsilon))= \emptyset$
Però ricontrolla perchè potrei aver detto cose false
Fissa $x in RR^n$ e considera $A={S(x,\epsilon) \cup S(y,\epsilon)| y \rho x}$. E' ovviamente un aperto saturo. Se consideri $pi(A)=\bar(A) in RR^n//\rho$ ove $pi(A)=S([x],\epsilon)$, cioè l'intorno sferico di centro $[x]$ e raggio $epsilon$.
Da cui provare che sia $T_2$ non dovrebbe essere difficile.
Presi due elementi $\bar(x), \bar(y)$ distinti, cioè che non sono in relazione, si ha $S(x,epsilon),S(y,epsilon)$ son disgiunti per un $epsilon$ opportuno.
Supponi ora che $S(\bar(x),epsilon) nn S(\bar(y),epsilon)$ non siano separati, allora $\bar(z)$ in tale intersezione. Per cui $pi^(-1)(\bar(z)) in pi^(-1) (S(\bar(x),epsilon) nn S(\bar(y),epsilon))= \emptyset$
Però ricontrolla perchè potrei aver detto cose false
"mistake89":
Fissa $x in RR^n$ e considera $A={S(x,\epsilon) \cup S(y,\epsilon)| y \rho x}$. E' ovviamente un aperto saturo.
E' così ovvio? ( con $S(x,\epsilon)$ intendi la palla aperta di centro $x$ e raggio $\epsilon$, suppongo)
Sì, intendo quello.
E' un'idea veloce che mi è venuta leggendo, non ho messo a posto alcun dettaglio, quindi magari non è così ovvio
Però se tu prendi $x in A$ e prendi un $y \rho x$, allora esisterà una palla $S(y,epsilon)$ che lo contiene. Ora questa palla sta sicuramente in $A$ (essendo $x \rho y)$ e di conseguenza $y in A$.
I problemi potrebbero sorgere prendendo i punti a distanza minore di $epsilon$ e scegliendo uno in relazione con essi.Mmm
E' un'idea veloce che mi è venuta leggendo, non ho messo a posto alcun dettaglio, quindi magari non è così ovvio
Però se tu prendi $x in A$ e prendi un $y \rho x$, allora esisterà una palla $S(y,epsilon)$ che lo contiene. Ora questa palla sta sicuramente in $A$ (essendo $x \rho y)$ e di conseguenza $y in A$.
I problemi potrebbero sorgere prendendo i punti a distanza minore di $epsilon$ e scegliendo uno in relazione con essi.Mmm
La cosa strana è che questo esercizio mi capitò pari pari a me a un compitino di geometria proiettiva, solo che li dovevi quozientare [tex]R^n \setminus \{0\}[/tex]. Sei sicuro che non fosse così?
Tu come l'hai risolto Alvin?
Dico le idee essenziali, non ho avuto voglia di mettermi a scrivere tutto (il mio es comunque era con $n \geq 2 $)
Sia $X$ il nostro spazio. Connessione è gratis. Per la compattezza, si nota che l'insieme $A={1\leq ||x||\leq 2}$ contiene tutti i rappresentanti, ed è un compatto. Per il resto, questo quoziente è omeomorfo a $S^{n-1} \times S^1$, prodotto di T2. Per vedere direttamente che è T2, per rendere le cose facili si possono cercare intorni saturi (mediante la restrizione della relazione di equivalenza ad $A$, che chiamo $r$) disgiunti in $A$ (e questo è facile), a patto di aver dimostrato che $A//r$ è omeomorfo a $X$. (per la compattezza non serviva questo omeomorfismo, bastava osservare che $X$ è immagine continua di $A$).
Non ho ricontrollato i dettagli, ma dovrebbe andare.
@d4ni prova a scrivere bene le cose che ho detto
Sia $X$ il nostro spazio. Connessione è gratis. Per la compattezza, si nota che l'insieme $A={1\leq ||x||\leq 2}$ contiene tutti i rappresentanti, ed è un compatto. Per il resto, questo quoziente è omeomorfo a $S^{n-1} \times S^1$, prodotto di T2. Per vedere direttamente che è T2, per rendere le cose facili si possono cercare intorni saturi (mediante la restrizione della relazione di equivalenza ad $A$, che chiamo $r$) disgiunti in $A$ (e questo è facile), a patto di aver dimostrato che $A//r$ è omeomorfo a $X$. (per la compattezza non serviva questo omeomorfismo, bastava osservare che $X$ è immagine continua di $A$).
Non ho ricontrollato i dettagli, ma dovrebbe andare.
@d4ni prova a scrivere bene le cose che ho detto
Mmm sì, decisamente più elegante di ciò che avevo scritto io. Mi farebbe piacere però sapere se è corretto ciò che ho detto o ho scritto un mare di scemenze 
Io non ho capito bene cosa hai scritto prima.
Per esempio
Come ti dicevo prima, non è saturo. Dovresti prendere [tex]\bigcup_{n\in\mathhb Z} S(2^nx,2^n\epsilon)[/tex].
Anche qui, che distanza hai definito sul quoziente? come fai a parlare di intorni sferici?
Magari chiarisci meglio cosa volevi dire.
Per esempio
"mistake89":
Fissa $x in RR^n$ e considera $A={S(x,\epsilon) \cup S(y,\epsilon)| y \rho x}$. E' ovviamente un aperto saturo.
Come ti dicevo prima, non è saturo. Dovresti prendere [tex]\bigcup_{n\in\mathhb Z} S(2^nx,2^n\epsilon)[/tex].
"mistake89":
Se consideri $pi(A)=\bar(A) in RR^n//\rho$ ove $pi(A)=S([x],\epsilon)$, cioè l'intorno sferico di centro $[x]$ e raggio $epsilon$.
Anche qui, che distanza hai definito sul quoziente? come fai a parlare di intorni sferici?
Magari chiarisci meglio cosa volevi dire.
ok grazie adesso provo a sistemare quello che mi hai detto e a ricavarci fuori qualcosa..
comunque alvinlee88, a vedere la tua immagine del profilo e considerando il fatto che il mio professore da cui ho preso il vecchio compitino è Broglia, si direbbe che frequentiamo la stessa università, e questo era proprio il tuo vecchio compito...
comunque alvinlee88, a vedere la tua immagine del profilo e considerando il fatto che il mio professore da cui ho preso il vecchio compitino è Broglia, si direbbe che frequentiamo la stessa università, e questo era proprio il tuo vecchio compito...
una precisazione per la compattezza:
Se non sbaglio però sarebbe errato dire che tra l insieme A e lo spazio quoziente c è omeomorfismo, quindi formalmente come si trasferisce la compattezza di A nello spazio?
EDIT: aspettate, forse ho capito di aver detto una cavolata: la corona circolare chiusa è omomorfa al toro?
subito mi verrebbe da dire di no..
Per la compattezza, si nota che l'insieme $A={1≤||x||≤2}$ contiene tutti i rappresentanti, ed è un compatto.
Se non sbaglio però sarebbe errato dire che tra l insieme A e lo spazio quoziente c è omeomorfismo, quindi formalmente come si trasferisce la compattezza di A nello spazio?
EDIT: aspettate, forse ho capito di aver detto una cavolata: la corona circolare chiusa è omomorfa al toro?
subito mi verrebbe da dire di no..
"d4ni":
una precisazione per la compattezza:
Per la compattezza, si nota che l'insieme $A={1≤||x||≤2}$ contiene tutti i rappresentanti, ed è un compatto.
Se non sbaglio però sarebbe errato dire che tra l insieme A e lo spazio quoziente c è omeomorfismo, quindi formalmente come si trasferisce la compattezza di A nello spazio?
Puoi dire che il tuo spazio è immagine di $A$ tramite l'applicazione continua e surgettiva $\pi i$, dove $i$ è l'inclusione e $\pi$ la proiezione. Per ora hai una mappa da $A//r$ a $X$ continua e bigettiva (da dimostrare). Cosa manca affinchè sia un'omeomorfismo?
"d4ni":Infatti no.
EDIT: aspettate, forse ho capito di aver detto una cavolata: la corona circolare chiusa è omomorfa al toro?
subito mi verrebbe da dire di no..
adesso ho visto che hai postato e ci penso, comunque l insieme dei rappresentanti potremmo ridurlo a:
$A={1≤||x||<2}$
$A={1≤||x||<2}$
"alvinlee88":
Io non ho capito bene cosa hai scritto prima.
Per esempio
[quote="mistake89"]
Fissa $x in RR^n$ e considera $A={S(x,\epsilon) \cup S(y,\epsilon)| y \rho x}$. E' ovviamente un aperto saturo.
Come ti dicevo prima, non è saturo. Dovresti prendere [tex]\bigcup_{n\in\mathhb Z} S(2^nx,2^n\epsilon)[/tex].
"mistake89":
Se consideri $pi(A)=\bar(A) in RR^n//\rho$ ove $pi(A)=S([x],\epsilon)$, cioè l'intorno sferico di centro $[x]$ e raggio $epsilon$.
Anche qui, che distanza hai definito sul quoziente? come fai a parlare di intorni sferici?
Magari chiarisci meglio cosa volevi dire.[/quote]
Si in effetti non è così semplice come avevo detto.
Tra l'altro hai ragione il raggio deve essere $2^n\epsilon$ per funzionare.
Appena ho un po' di tempo ci penso meglio, magari si riesce a sistemare il tutto.
Fra l'altro ci sono molti modi per risolverlo, usare solo l'insieme $A$ dove tutto è più semplice a patto di dimostrare che la cosa è legittima, e per questo può essere utile osservare che stai quozientando per sottogruppo delle omotetie, che sono omemorfismi, quindi hai un sacco di risultati, tipo sulle proiezioni e su come vedere se il quoziente è T2 ecc). Vi invito però a scrivere i dettagli, è un ottimo esercizio (e io non ho tempo/voglia di farlo )
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