Spazio quoziente

[studentessa CdLmate]

Dato uno spazio topologico $X$ si consideri la relazione di equivalenza tale che $x$~$y$ se $x=y$ oppure $x,y in A$.

Sia $X/A$ il quoziente e $[A] in X/A$ la classe degli elementi di $A$.

Si dimostri che se $A$ è chiuso , o aperto, in $X$ allora $X-A$ è omeomorfo al sottospazio $X/A - [A] subset X/A$.

Come possibile omeomorfismo ho considerato la proiezione canonica $pi:X->X/A$ ,che mappa ogni elemento di $X$ nella sua classe di equivalenza, ristretta all'insieme $X-A$ quindi $f=pi_(|X-A):X-A-> X/A-[A]$.

La mia $f$ è biiettiva per come è definita la relazione di equivalenza e poichè è ristretta a $X-A$. é inoltre continua perchè è restrizione di $pi$ continua ma come dimostrare che è anche aperta o chiusa sfruttando l'ipotesi che il sottoinsieme $A$ sia chiuso o aperto??

[j18eos]

Per comodità sia \(A\) aperto, per definizione \(X\setminus A\) è un sottoinsieme chiuso di \(X\); chi sono i sottoinsiemi chiusi di \(X_{\big/\sim}\)? Ricordati che \([A]_{\sim}\) è un punto!

[studentessa CdLmate]

I chiusi di $X/A$ sono i sottoinsiemi $V subset X/A$ tali che $pi^-1(V)$ è chiuso in $X$.

[j18eos]

A questo punto, chi sono i sottoinsiemi chiusi di \(X_{\big/\sim}\setminus[A]\)? Come utilizzare questa informazione per dimostrare che \(f\) è un'applicazione chiusa in questo caso?

Dopodiché: se \(A\) è aperto...

[studentessa CdLmate]

I chiusi di $X/A \[A]$ sono i sottoinsiemi $C subset X/A \[A]$ tali che $pi^-1(C) nn A = O/$. Giusto?non sono sicura di questo!!
Poi non so come proseguire !

[j18eos]

Più semplicemente \(\pi^{-1}(C)\) è un sottoinsieme chiuso di \(X\setminus A\), anch'egli sottoinsieme chiuso di \(X\) per cui \(\pi^{-1}(C)\) è un sottoinsieme chiuso di \(X\).

Premesso ciò, rimembrato che a meno di equivalenza gli elementi di \(X\setminus A\) sono fissati da \(\pi\) ottieni l'asserto!

[studentessa CdLmate]

continuo a non capire.. se $A$ è un aperto in $X$ devo dimostrare che $f=pi_(X-A)$ è chiusa. Sia $C subset X-A$ un chiuso allora $f(C)=[C]$ sottoinsieme di $X/A - [A]$ chiuso in questo spazio se $f^-1([C])$ è chiuso in $X-A$. Ma $f^-1([C])=C$ che per come l'abbiamo scelto è chiuso in $X-A$ quindi anche $[C]$ è chiuso in $X/A-[A]$ e la $f$ è chiusa. non riesco a capire l'errore nel mio ragionamento che ci dovrà pur essere perchè l'hp di apertura (o chiusura) di $A$ mi è stata inutile!!

[j18eos]

Scusa, se \(A\) è aperto allora \(X\setminus A\) è un insieme chiuso, quindi i suoi sottoinsiemi chiusi sono i sottoinsiemi chiusi di \(X\) disgiunti da \(A\); sapendo che l'immagine mediante \(\pi\) di un insieme chiuso disgiunto da \(A\) è l'insieme stesso a meno dell'equivalenza, e per quanto ribadito in precedenza hai l'asserto!

[studentessa CdLmate]

ok. però lo stesso ragionamento perchè non funziona se lavoro con le topologie indotte su $X-A$ e $X/A-[A]$??

Scusa ma sono un pò tarda a capire!!

[studentessa CdLmate]

Ho capito finalmente dove sbagliavo il ragionamento!! se $A$ fosse solo un sottoinsieme allora preso $F subset X-A$ un chiuso questo sarà, per la topologia indotta, della forma $C nn X-A$ con $C subset X$ chiuso . Allora $pi_(X-A)(F) subset X/A-[A] $ è aperto se $pi^-1(pi_(X-A)(F))=F$ è chiuso in $X$ ma questo vale solo se $X-A$ è chiuso in $X$ ovvero $A$ aperto! Giusto?!

[Martino]

"studentessa CdLmate":$f(C)=[C]$ sottoinsieme di $X/A - [A]$ chiuso in questo spazio se $f^-1([C])$ è chiuso in $X-A$.

Questo non è esatto. [tex][C][/tex] è chiuso in [tex]X/A-[A][/tex] se si può scrivere come [tex]D \cap (X/A-[A])[/tex] con [tex]D[/tex] chiuso di [tex]X/A[/tex], cioè tale che [tex]\pi^{-1}(D)[/tex] è chiuso in [tex]X[/tex]. Siccome [tex]C[/tex] è disgiunto da [tex]A[/tex] devi scegliere [tex]D=[C][/tex] e quindi la condizione diventa che [tex]\pi^{-1}([C])[/tex] sia chiuso in [tex]X[/tex]. E per dimostrare questo ti serve l'ipotesi su [tex]A[/tex].

Come controesempio al caso generale puoi prendere [tex]X=\mathbb{R}[/tex] e [tex]A= [0,1)[/tex].

[gaussina_91]

Scusate se torno su questo esercizio....non sono convinta del fatto che la continuità sia dovuta al fatto che quella sia una restrizione....perchè comunque cambia la topologia no? In questo caso abbiamo la topologia indotta e dobbiamo dimostrarlo che f ristretta sia continua...sbaglio?

[Martino]

Se [tex]f:X \to Y[/tex] è una funzione continua tra spazi topologici e [tex]S \subseteq X[/tex] è un sottospazio di [tex]X[/tex] allora la restrizione [tex]f|_S:S \to Y[/tex] è sempre continua. Per definizione di topologia indotta.