Spazio proiettivo $RRP^1$

[leev]

Come dimostrare che lo spazio proiettivo $RRP^1$ è omeomorfo al cerchio unitario S1 ?

Come definireste l'applicazione?

[Sk_Anonymous]

"leev":Come dimostrare che lo spazio proiettivo $RRP^1$ è omeomorfo al cerchio unitario S1 ?

E chi te l'ha detto che sono omeomorfi?! Immagino che in $\mathbb{R}\mathbb{P}^1$ sia adottata la topologia quoziente e in $S_1$ la topologia dei sottospazi... Bah, eccoti un link che potrebbe tornarti utile: questo!

[leev]

Immagini bene,
cmq, il fatto ke siano omeomorfi me lo dice l'esercizio ke m'è stato attribuito

Ma già non riesko a trovare un applicazione biiettiva...

[Sk_Anonymous]

"leev":il fatto ke siano omeomorfi me lo dice l'esercizio ke m'è stato attribuito

Forse non ci siamo capiti: l'omeomorfismo che ti è stato chiesto di trovare NON esiste! Sia infatti $~$ la relazione che identifica i punti antipodali sulla sfera unitaria $n$-dimensionale, dove $n$ è un intero $> 1$. Allora $\mathbb{R}\mathbb{P}^{n-1}$ è omeomorfo ad $S_{n-1}$/$~$, se sull'uno e l'altro spazio si assume la topologia quoziente indotta, rispettivamente, da $\mathbb{R}^n$/$\{0\}$ ed $S^{n-1}$ con la topologia dei sottospazi ereditata da $\mathbb{R}^n$ euclideo. Che i due spazi siano omeomorfi è fatto banale: basta considerare la funzione $\varphi: \mathbb{R}\mathbb{P}^{n-1} \to S_{n-1}$/$~: x \mapsto \frac{x}{||x||}$, mostrando che è ben definita, biunivoca e bicontinua. Qui $|| \cdot ||$ denota la norma che definisce la sfera $n$-dimensionale. Incidentalmente, dico che non è affatto necessario specificare di quale si tratti, perché tutte le norme eventualmente definite su uno spazio a dimensione finita sono fra loro equivalenti (lemma di Ostrowski, presso alcuni autori). Per assurdo, ammettiamo adesso che esista un omeomorfismo $\psi: \mathbb{R}\mathbb{P}^{n-1} \to S_{n-1}$. Allora $S_{n-1}$ sarebbe pure omeomorfo al quoziente $S_{n-1}$/$~$, assurdo!

[leev]

grazie per la risposta.
Cmq altre fonti dicono che sono omeomorfi.., per esempio considerando IRP^1 come i punti su $S^1+$ (cioe la metà superiore della sfera unitaria) e un omeomorfismo che va da questo insieme a $S^1$.
Vabbé.
Ciao

[Sk_Anonymous]

"leev":grazie per la risposta.
Cmq altre fonti dicono che sono omeomorfi.., per esempio considerando IRP^1 come i punti su $S^1+$ (cioe la metà superiore della sfera unitaria) e un omeomorfismo che va da questo insieme a $S^1$.

Ci spieghino come, allora. Per inciso... Nota che $S_+^1$ è sì strettamente imparentato con il quoziente $S_1$/$~$ da me definito poco sopra, eppure propriamente non è lo stesso insieme: identificare gli antipodali significa infatti collassare i punti opposti rispetto al centro della sfera, così da ridurla sì a una semisfera, spogliata però di alcuni punti della circonferenza equatoriale. Non vedo perciò in che modo $\mathbb{R}\mathbb{P}^1$ possa essere omeomorfo ad $S_+^1$. Se altre fonti dicono che l'omeomorfismo è possibile, beh... Che ci facciano vedere come! Non vorranno mica che gli si creda sulla parola...

P.S.: sia chiaro un punto, in ogni caso... Se le topologie definite sui vari insiemi coinvolti in questo discorso sono quelle che già ho indicato, non c'è alcuna possibilità che l'omeomorfismo di cui vai dicendo possa esistere: a meno del caso banale, non c'è modo acché uno sp. topologico $S$ possa essere omeomorfo al quoziente su cui collassa per identificazione dei punti equivalenti secondo un'assegnata relazione $~$: la corrispondenza non potrebbe infatti in alcun modo risultare bi-iniettiva.

[amel3]

"leev":grazie per la risposta.
Cmq altre fonti dicono che sono omeomorfi.., per esempio considerando IRP^1 come i punti su $S^1+$ (cioe la metà superiore della sfera unitaria) e un omeomorfismo che va da questo insieme a $S^1$.
Vabbé.
Ciao

Se non ricordo male, in questo caso ciò non è possibile; infatti, nessun punto sconnette $S^1$ in due componenti connesse, mentre, invece ciascun punto di $S^1 +$ tranne i due estremi sconnette $S^1 +$ in due componenti connesse (di questo si stava parlando, no?).