Spazio prodotto

[d4ni1]

Dunque ecco l esercizio:

Dato un insieme $X$ di cardinalità infinita indichiamo con $Xc$ lo spazio topologico $X$ con la topologia cofinita.

1)Sul prodotto $XxX$ definiamo due topologie: $(Xc$ $x$ $Xc)$ e $(X$ $x$ $X)c$. Coincidono?

Risp: mi pare che in entrambi i casi la classe di insiemi $(AxB)$ al variare di A e B tra gli aperti di Xc sia una base di entrambe le topologie, quindi risposta affermativa.

2) $Xc x Xc$ è connesso? compatto? di Hausdorff?

Risp: per la prima pongo X sconnesso, C e D aperti e chiusi disgiunti, quindi C e D sono entrambi dei chiusi, quindi sono di cardinalità finita, ergo X è finito. Assurdo, X connesso e quindi il prodotto è connesso.

Hausdorfficità: riesco solo a dimostrare che X è T1.
Compattezza: non trovo niente. anche se dimostrando la compattezza di X quella del prodotto vien da sè.

[bestiedda2]

non mi pare che le due topologie coincidano....

prendi [tex]\mathbb{R}[/tex] con la topologia cofinita: allora [tex]U=\mathbb{R} \setminus {0}[/tex] è un aperto e quindi [tex]U \times U={(x,y) | x \not = 0 , y \not = 0}[/tex] è un aperto per la topologia prodotto: ma [tex]\mathbb{R}^2 \setminus {U \times U}[/tex] non è finito (contiene gli assi cartesiani)

per quanto riguarda l'essere di Hausdorff: considera [tex]x \not = y[/tex] appartenenti a [tex]X[/tex] e un aperto $U$ che contiene $x$ ma non $y$: allora un eventuale aperto che contiene $y$ ed è disgiunto da $U$ dev'essere sottoinsieme di $X \setminus U$...

[d4ni1]

quindi entrambi gli intorni dei punti devono essere insiemi finiti...