Spazio non finitamente generato

[rombo1]

Un $K-$spazio vettoriale V non è finitamente generato se e solo se esiste una successione $(v_n)_{n \in NN}$ di vettori di $V$ tale che, per ogni $n \in NN$ il sistema $S_n = [v_1, ..., v_n]$ sia linearmente indipendente.

Mi aiutate a districare questo teorema? Quello che mi sembra dica l'enunciato è che esistano al più numerabile sistema di vettori (od insiemi di vettori) $S_n$ che sono generatori per $V$ e questi sono linearmente indipendenti. Anche l'unione di insiemi numerabili è numerabile, non infinita. Son quasi certo non sia questo il punto cardine per il teorema, ma l'indipendenza, che non riesco però a vederne l'uso corretto.

Altra questione: $S_{n}$ è dipendente da $S_{n-1}$?

Ringrazio

[otta96]

Non ti dice che esistano insiemi di vettori l. i. al più numerabili, semmai almeno numerabili.
Per quanto riguarda l'unione ciò che vale è che unione al più numerabile di insiemi al più numerabili è numerabile.
Anche se in questo caso non c'entra molto, piuttosto considera un vettore non nullo, poi un vettore linear ente indipendente da lui, poi un altro indipendentemente da entrambi e così via, poi dimostra che i vettori che hai preso soddisfano la proprietà. Devi anche dimostrare perché lo puoi fare ad ogni passaggio.