Spazio non compatto ma compatto per successioni
ciao a tutti!
vi propongo il seguente esercizio che non riesco a risolvere:
Sia $I$ l'intervallo $[0,1]$ e $X=I^I={f : I rarr I}$ dotato della topologia prodotto, per il teorema di Tyconoff X è compatto di Hausdorff.
Sia $X$ $sup$ $B$ $ = { f : I rarr I $ tale che$ f(x)!=0 $ per al più una quantità numerabile di punti $ x in I}$
Dimostrare che $B$ è denso in $X$, che non è compatto ma che è compatto per successioni.
è preso dal libro di topologia di manetti n 7.14
sono ancora in alto mare (densità di $B$ in $X$) quindi anche solo un suggerimento sarebbe il benvenuto. Per ora sto pensando l'insieme come $\prod_{I}I$ che per definizione è proprio il mio spazio $X$, vorrei ragionare per assurdo trovando un punto $x$ $inX$ che non è limite di alcuna successione di elementi di $B$ che conduce a un assurdo con la discontinuità al più numerabile delle funzioni di $B$. Ma non riesco a trovarlo, credo non mi sia proprio chiaro come posso vedere il limite di una successione di elementi di$ B$.
vi ringrazio dell'aiuto!
vi propongo il seguente esercizio che non riesco a risolvere:
Sia $I$ l'intervallo $[0,1]$ e $X=I^I={f : I rarr I}$ dotato della topologia prodotto, per il teorema di Tyconoff X è compatto di Hausdorff.
Sia $X$ $sup$ $B$ $ = { f : I rarr I $ tale che$ f(x)!=0 $ per al più una quantità numerabile di punti $ x in I}$
Dimostrare che $B$ è denso in $X$, che non è compatto ma che è compatto per successioni.
è preso dal libro di topologia di manetti n 7.14
sono ancora in alto mare (densità di $B$ in $X$) quindi anche solo un suggerimento sarebbe il benvenuto. Per ora sto pensando l'insieme come $\prod_{I}I$ che per definizione è proprio il mio spazio $X$, vorrei ragionare per assurdo trovando un punto $x$ $inX$ che non è limite di alcuna successione di elementi di $B$ che conduce a un assurdo con la discontinuità al più numerabile delle funzioni di $B$. Ma non riesco a trovarlo, credo non mi sia proprio chiaro come posso vedere il limite di una successione di elementi di$ B$.
vi ringrazio dell'aiuto!
Risposte
"Captainhero":
ciao a tutti!
...vorrei ragionare... trovando un punto $x$ $inX$ che non è limite di alcuna successione di elementi di $B$...
vi ringrazio dell'aiuto!
CIa0,
premesso che questo esercizio lo odio (e sarà una delle tante cose che mi sono promesso di riferire al prof. Manetti): sei sicuro di poter ragionare con le successioni?
Suggerimento molto insidioso: ricordati che \(J=I\cap\mathbb{Q}\) è denso in \(I\)!
Prego, di nulla!
hai ragione, gli esercizi sui prodotti che hanno cardinalità più che continue sono fastidiosi!
ti ringrazio inanzitutto per il suggerimento, e scusa la mia risposta tardiva, in queste feste purtroppo ho studiato davvero poco.
ho seguito il tuo suggerimento in questo modo:
considero le funzioni che sono non zero su $J$ a valori razionali, insomma $J^J$ $= Y$ $sub$ $B$
il complementare di $Y^c = { f : (I - J) rarr (I - J) } $ = $\prod_{I-J} [0,1] nn (RR - QQ)$
se lo vedo come prodotto di $[0,1] nn (RR - QQ)$ un numero cardinalmente continuo di volte, dico che cumunque fisso $x
credi sia giusto? o ho tralasciato o dato per scontato qualcosa?
per quanto riguarda la non compatezza secondo me è molto semplice dato che $B$ è un sottinsieme proprio di $X$ chiaramente $B$ non può essere chiuso altrimenti sarebbe tutto $X$ (un sottinsieme denso di un insieme se chiuso può soltanto essere tutto l'insieme) quindi dato che $X$ è di Hausdorff, una condizione necessaria per un sottinsieme compatto è di essere chiuso. quindi B non è compatto
sulla compatezza per successioni incomincio subito a lavorarci!
ti ringrazio inanzitutto per il suggerimento, e scusa la mia risposta tardiva, in queste feste purtroppo ho studiato davvero poco.
ho seguito il tuo suggerimento in questo modo:
considero le funzioni che sono non zero su $J$ a valori razionali, insomma $J^J$ $= Y$ $sub$ $B$
il complementare di $Y^c = { f : (I - J) rarr (I - J) } $ = $\prod_{I-J} [0,1] nn (RR - QQ)$
se lo vedo come prodotto di $[0,1] nn (RR - QQ)$ un numero cardinalmente continuo di volte, dico che cumunque fisso $x
credi sia giusto? o ho tralasciato o dato per scontato qualcosa?
per quanto riguarda la non compatezza secondo me è molto semplice dato che $B$ è un sottinsieme proprio di $X$ chiaramente $B$ non può essere chiuso altrimenti sarebbe tutto $X$ (un sottinsieme denso di un insieme se chiuso può soltanto essere tutto l'insieme) quindi dato che $X$ è di Hausdorff, una condizione necessaria per un sottinsieme compatto è di essere chiuso. quindi B non è compatto
sulla compatezza per successioni incomincio subito a lavorarci!
per quanto riguarda la compatezza per successioni posso vederla così?
suppongo per assurdo $EE A_n in B$ tale che non ammette sottosuccessioni convergenti a elementi di $B$ quindi in particolare $A_n$ non converge. Allora ogni estratta convergente $A_(n_k) rarr \bar{A} in X - B }$ convergerà a un elemento (una funzione) che è diversa da zero in un'infinità continua di punti ma è assurdo, detto meglio:
perchè $card($ $uuu_{NN} NN$$)$$= card(NN)$ quindi dato che ogni elemento di $B$ ha al più una quantità numerabile di di punti diversi da zero e una successione qui altro non è che una funzione $A(n) : NN rarr B$ può associare una quantità al più numerabile di elementi diversi da zero. questo implica che l'unione dei punti diversi da zero di $\bar{A}$ è al più numerabile $=>$ $\bar{A}$ converge a un elemento di $B$ assurdo!
l'idea mi sembra giusta forse non è abbastanza chiaro?
suppongo per assurdo $EE A_n in B$ tale che non ammette sottosuccessioni convergenti a elementi di $B$ quindi in particolare $A_n$ non converge. Allora ogni estratta convergente $A_(n_k) rarr \bar{A} in X - B }$ convergerà a un elemento (una funzione) che è diversa da zero in un'infinità continua di punti ma è assurdo, detto meglio:
perchè $card($ $uuu_{NN} NN$$)$$= card(NN)$ quindi dato che ogni elemento di $B$ ha al più una quantità numerabile di di punti diversi da zero e una successione qui altro non è che una funzione $A(n) : NN rarr B$ può associare una quantità al più numerabile di elementi diversi da zero. questo implica che l'unione dei punti diversi da zero di $\bar{A}$ è al più numerabile $=>$ $\bar{A}$ converge a un elemento di $B$ assurdo!
l'idea mi sembra giusta forse non è abbastanza chiaro?
Un paio di correzioni e precisazioni! 
[ot]Ora passo alla nota dolente!
Non ti devi scusare del ritardo, e né io sono tenuto a scusarmi di un eventuale mio ritardo nel risponderti in quanto il regolamento è chiaro e preciso almeno all'articolo 3.4![/ot]
§§§
(*) Se non erro: il prof. Manetti dimostra dapprima il teorema di Tikhonov per gli spazi (compatti) di Hausdorff eppoi, mediante il teorema della (sotto)base di Alexandrov (non Alexander che è un altro), lo dimostra per un qualunque spazio topologico (compatto)!
"Captainhero":Veramente il teorema di Tikhonov ti assicura solo che \(I\) è uno spazio topologico compatto (con la topologia prodotto), il suo essere spazio di Hausdorff è indipendente dal teorema stesso(*).
...Sia $I$ l'intervallo $[0,1]$ e $X=I^I={f : I rarr I}$ dotato della topologia prodotto, per il teorema di Tyconoff X è compatto di Hausdorff...
"Captainhero":Se fosse stato un prodotto numerabile avresti potuto usufruire delle successioni, in quanto il prodotto topologico al più numerabile di spazi \(\mathrm{N}_1\) è \(\mathrm{N}_1\).
hai ragione, gli esercizi sui prodotti più che numerabili sono fastidiosi!...
"Captainhero":Sei sicuro su \(Y^C\)? Io no!
...considero le funzioni che sono non zero su $J$ a valori razionali, insomma $J^J$ $= Y$ $sub$ $B$
il complementare di $Y^c = { f : (I - J) rarr (I - J) } $ = $\prod_{I-J} [0,1] nn (RR - QQ)$...
[ot]Ora passo alla nota dolente!
"Captainhero":Non per essere STR ma la risoluzione dell'esercizio è di tuo esclusivo interesse!
...e scusa la mia risposta tardiva, in queste feste purtroppo ho studiato davvero poco...
Non ti devi scusare del ritardo, e né io sono tenuto a scusarmi di un eventuale mio ritardo nel risponderti in quanto il regolamento è chiaro e preciso almeno all'articolo 3.4![/ot]§§§
(*) Se non erro: il prof. Manetti dimostra dapprima il teorema di Tikhonov per gli spazi (compatti) di Hausdorff eppoi, mediante il teorema della (sotto)base di Alexandrov (non Alexander che è un altro), lo dimostra per un qualunque spazio topologico (compatto)!
La mia bontà si sta espandendo, io suggerisco di dimostrare dapprima che \(\displaystyle{\prod_IJ}\) è denso in \(X\); utilizzare le funzioni di proiezione, altrimenti si diventa matti!
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