Spazio localmente compatto
Ciao a tutti.
Vi illustro il seguente esercizio con cui ho diversi problemi. Il testo è il seguente :
Si consideri lo spazio delle funzioni continue su [0,1], cioè : $ C^0 (text([)0,1text(]))= \{ f : [0;1]->R, f text( continua) \} $
munito della distanza indotta dalla norma infinito su [0,1].
Dimostrare che lo spazio non è localmente compatto.
Ora il problema è che il suggerimento è quello di utilizzare una successione di polinomi di norma 1 da cui non si può estrarre una sottosuccessione uniformemente convergente. Ma anche ammesso che riesca a trovare una tale successione, questo proverebbe che lo spazio non è compatto, ma perché ciò dovrebbe implicare che non è localmente compatto?
Ad esempio (0,1) non è compatto con la norma euclidea e infatti non è compatto per successioni, ma è localmente compatto. Quindi il non essere compatto per successioni a priori non dovrebbe dirmi nulla sulla locale compattezza.
Dove sbaglio?
Vi illustro il seguente esercizio con cui ho diversi problemi. Il testo è il seguente :
Si consideri lo spazio delle funzioni continue su [0,1], cioè : $ C^0 (text([)0,1text(]))= \{ f : [0;1]->R, f text( continua) \} $
munito della distanza indotta dalla norma infinito su [0,1].
Dimostrare che lo spazio non è localmente compatto.
Ora il problema è che il suggerimento è quello di utilizzare una successione di polinomi di norma 1 da cui non si può estrarre una sottosuccessione uniformemente convergente. Ma anche ammesso che riesca a trovare una tale successione, questo proverebbe che lo spazio non è compatto, ma perché ciò dovrebbe implicare che non è localmente compatto?
Ad esempio (0,1) non è compatto con la norma euclidea e infatti non è compatto per successioni, ma è localmente compatto. Quindi il non essere compatto per successioni a priori non dovrebbe dirmi nulla sulla locale compattezza.
Dove sbaglio?
Risposte
Ciao,
magari in questo modo riesci a dimostrare che ogni palla chiusa di raggio $r > 0$ centrata nella funzione nulla non è compatta, da questo dovrebbe seguire che non è localmente compatto(pensaci).
magari in questo modo riesci a dimostrare che ogni palla chiusa di raggio $r > 0$ centrata nella funzione nulla non è compatta, da questo dovrebbe seguire che non è localmente compatto(pensaci).
In effetti stavo pensando la seguente cosa : in uno spazio metrico localmente compatto le palle chiuse sono compatte se non sbaglio, quindi mi basta dimostrare che una palla chiusa, ad esempio quella centrata nell'origine di raggio 1,non è compatta, per concludere che lo spazio non è localmente compatto. Ergo se trovo una successione in tale palla che non ammette sottosuccessioni convergenti sono a posto. Corretto? In tal caso domani posto una mia idea di soluzione.
No, è falso che in uno spazio metrico localmente compatto le palle chiuse sono tutte compatte(trova un esempio).
Tuttavia nota che il tuo non è solo uno spazio metrico... è anche uno spazio vettoriale normato, la cui norma induce la metrica. Prova a dimostrare che se $X$ è uno spazio vettoriale normato localmente compatto allora tutte le palle chiuse sono compatte.
Per il resto la strategia è corretta.
Tuttavia nota che il tuo non è solo uno spazio metrico... è anche uno spazio vettoriale normato, la cui norma induce la metrica. Prova a dimostrare che se $X$ è uno spazio vettoriale normato localmente compatto allora tutte le palle chiuse sono compatte.
Per il resto la strategia è corretta.
-Se considero R con la metrica discreta dovrei avere uno spazio localmente compatto, dato che per ogni punto di R e ogni intorno aperto ho un aperto a chiusura compatta : il punto stesso inteso come singoletto. Ora la palla chiusa di raggio 1 coincide con R stesso e non è compatta dato che il ricoprimento formato ad esempio dai singoletti dei punti di R non ammette sottoricoprimenti finiti. Ci sta come esempio?
-riguardo alla dimostrazione del fatto che in uno spazio vettoriale normato localmente compatto le palle chiuse sono compatte sto facendo un po' di fatica o meglio non ho capito se è una cosa semplice o se occorre qualche conoscenza di analisi/geometria che magari mi sono perso. Ho trovato qualche dimostrazione su internet, ad esempio del fatto che uno spazio normato è localmente compatto se e solo se è di dimensione finita, però probabilmente la cosa è più semplice di come mi sembra ora....
-assumendo come fatto che se la palla chiusa di raggio 1 e centro 0 non è compatta lo spazio in questione non è localmente compatto, propongo di considerare la successione delle funzioni :
$ f_n(x)=x^n $
la cui norma è 1. Tale successione converge puntualmente ad una funzione (non continua) f =0 se x <0 , f=1 se x=1.
Se questa successione ammettesse una successione uniformemente convergente allora, detta g il limite della sottosuccessione, la convergenza a g sarebbe anche puntuale. Ma per unicità del limite deve essere g=f, ed f non è continua. Quindi la successione non ammette sottosuccessioni convergenti nella palla chiusa considerata.
Può andare?
-riguardo alla dimostrazione del fatto che in uno spazio vettoriale normato localmente compatto le palle chiuse sono compatte sto facendo un po' di fatica o meglio non ho capito se è una cosa semplice o se occorre qualche conoscenza di analisi/geometria che magari mi sono perso. Ho trovato qualche dimostrazione su internet, ad esempio del fatto che uno spazio normato è localmente compatto se e solo se è di dimensione finita, però probabilmente la cosa è più semplice di come mi sembra ora....
-assumendo come fatto che se la palla chiusa di raggio 1 e centro 0 non è compatta lo spazio in questione non è localmente compatto, propongo di considerare la successione delle funzioni :
$ f_n(x)=x^n $
la cui norma è 1. Tale successione converge puntualmente ad una funzione (non continua) f =0 se x <0 , f=1 se x=1.
Se questa successione ammettesse una successione uniformemente convergente allora, detta g il limite della sottosuccessione, la convergenza a g sarebbe anche puntuale. Ma per unicità del limite deve essere g=f, ed f non è continua. Quindi la successione non ammette sottosuccessioni convergenti nella palla chiusa considerata.
Può andare?
L'esempio è ok, mi sembra vada bene anche lo svolgimento dell'esercizio.
Per quanto riguarda la locale compattezza: Siano $X$ uno spazio normato localmente compatto e $x \in X$ un punto, per la locale compattezza $\exists U \subset X$ intorno di $x$ compatto, quindi, poiché le palle formano una base della topologia di $X$ indotta dalla norma, $\exists \epsilon > 0$ tale che $B(x, \epsilon) \subset U \subset X$, ne segue che $\overline{B(x, \epsilon)} \subset U$ è un chiuso in un compatto e quindi è compatto. Poiché lo spazio è normato vale che $\overline{B(x, \epsilon)} = \overline{B}(x, \epsilon)$, cioè la chiusura di una palla coincide con la palla chiusa e poiché $X$ è uno spazio vettoriale si vede facilmente che le palle sono tutte omeomorfe fra loro. Quindi tutte le palle chiuse sono compatte.
Secondo te può andare?
Ciao.
Per quanto riguarda la locale compattezza: Siano $X$ uno spazio normato localmente compatto e $x \in X$ un punto, per la locale compattezza $\exists U \subset X$ intorno di $x$ compatto, quindi, poiché le palle formano una base della topologia di $X$ indotta dalla norma, $\exists \epsilon > 0$ tale che $B(x, \epsilon) \subset U \subset X$, ne segue che $\overline{B(x, \epsilon)} \subset U$ è un chiuso in un compatto e quindi è compatto. Poiché lo spazio è normato vale che $\overline{B(x, \epsilon)} = \overline{B}(x, \epsilon)$, cioè la chiusura di una palla coincide con la palla chiusa e poiché $X$ è uno spazio vettoriale si vede facilmente che le palle sono tutte omeomorfe fra loro. Quindi tutte le palle chiuse sono compatte.
Secondo te può andare?
Ciao.
@Shocker: se mi posso intromettere, metodologicamente io eviterei il ricorso all'astrazione a meno che non aggiunga genuinamente qualche idea. E qui non mi pare il caso. Infatti, una volta notato che la successione \(f_n(x)=x^n\) è limitata ma non ha estratte convergenti, come AlK ha fatto, concluderei notando che, per ogni \(f\in C^0([0,1])\) e ogni \(\delta >0\), la palla chiusa di centro \(f\) e raggio \(\delta\) contiene la successione
\[
g_n:=f+\delta f_n, \]
e quindi tale palla non è compatta. Abbiamo concluso che tutte le palle chiuse non sono compatte e abbiamo finito.
\[
g_n:=f+\delta f_n, \]
e quindi tale palla non è compatta. Abbiamo concluso che tutte le palle chiuse non sono compatte e abbiamo finito.
Sì hai ragione, è molto più istruttiva la tua soluzione, hai fatto benissimo ad intrometterti.
Ciao
Ciao
"Shocker":
Sì hai ragione, è molto più istruttiva
Beh vabbè adesso non esageriamo, non ho fatto praticamente niente.
Grazie!
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