Spazio Generato da Vettori

[deltacobra-votailprof]

Salve a tutti vi pongo un quesito sul quale non so come procedere:
sia $W$ lo spazio generato dai vettori $(0,1,-1,1)$ , $(1,-1,-2,1)$ , trovare una base per lo spazio ortogonale a $W$ rispetto al prodotto scalare canonico.
Un grazie anticipato ciao!

[Pdirac]

Puoi cominciare con l'imporre l'ortogonalità tra un generico vettore di $RR^4$ (supponendo $W sube RR^4$) e $W$..

[deltacobra-votailprof]

Scusa l'ignoranza per trovare prima di tutto lo spazio generato dai due vettori devo mettere i coefficienti dei vettori in una matrice?

[Pdirac]

Lo spazio generato da un insieme di n vettori è l'insieme dei vettori che sono esprimibili come combinazione lineare degli n vettori dell'insieme di partenza. Ad esempio in questo caso per esprimere lo spazio $W$ in questa forma ti prendi un generico vettore $(x_1,x_2,x_3,x_4) in RR^4$ e imponi che sia combinazione lineare dei due vettori dati, ovvero: $(x_1,x_2,x_3,x_4) = a*(0,1,-1,1) + b*(1,-1,-2,1)$ e ti risolvi il sistemino. In questo caso particolare per esempio (se ho fatto bene i conti) ti verrebbe $W = {(x_1,x_2,-3x_1-x_2,2x_1+x_2) : x_1,x_2 in RR}$. Ovviamente ci sono altri infiniti modi per descrivere lo spazio, questo è quello che mi è venuto più immediato.
Usando le matrici puoi prendere una matrice che abbia come colonne (o righe) i tuoi vettori e guardando il rango ti vedi la dimensione dello spazio generato.

Comunque per il tuo problema non serve trovare lo spazio $W$. Prendi un vettore generico $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ dello spazio $RR^4$; ciò che sai è che deve essere ortogonale a $W$, quindi a entrambi i vettori che lo generano... quindi che condizione imponi?

[deltacobra-votailprof]

Allora un vettore per essere ortogonale ad un altro devo imporre che il prodotto scalare delle coordinate di questi ultimi deve essere uguale a $0$ giusto?

[Pdirac]

si

[indovina]

Scusate l'intromissione, sto seguendo anche io questo dibattito, per capirci, dopo aver posto che il prodotto scalare uguale a $0$
faccio un sistema tipo:

$(x_1, x_2, x_3, x_4)*(0,1,-1,1)=0$
con

$(x_1, x_2, x_3, x_4)*(1,-1,-2,1)=0$

mi trovo un vettore di queste coordinate:

$(x_1, x_2, x_1 - 2x_2, x_1 -3x_2)$ per trovare una base metto dei numeri?

tipo $(0,1, -2, -3)$ e $(1,0,1,1)$ che diventa base per $W^(_|_)$ ?

// non so se potevo intervenire in quanto il topic è di deltacobra, se è contro le regole, potete eliminare il mio post, grazie//

[deltacobra-votailprof]

Almeno per me non c'è nessun problema

[Pdirac]

Esatto... puoi anche verificare che il risultato è corretto utilizzando il teorema che ti dice che dato uno spazio vettoriale $V$ (che nel nostro caso stiamo assumendo essere $RR^4$) e un suo sottospazio $W$, si ha che $V$ è somma diretta di $W$ e di $W^(_|_)$. E in effetti è immediata la verifica che i due vettori dati all'inizio e (ad esempio) i due vettori della base da te trovata sono indipendenti, e dunque formano una base di $RR^4$.

[indovina]

Ciao Pdirac.

tu dici fare una matrice tipo

$((0,1,-2,-3),(1,0,1,1),(0,1,-1,1),(1,-1,-2,1))$

e vedere se sono L.I

per vedere se sono L.I basta calcolare il det. se è diverso da $0$ è verificato u.u

io l'ho calcolato per curiosità e viene $-17$ (salvo conti sbagliati).

credo sia cosi! ciao!