Spazio generato da vettori

[mistake89]

Ciao a tutti: sto preparando l'esame di algebra lineare e mi è sorto un dubbio circa questo esercizio e volevo sapere se la mia risoluzione era corretta. Ecco la traccia:

Provare che in $RR^3$ lo spazio generato dai vettori $<1,2,3>$ e $<0,4,1>$ coincide con quello generato dai vettori $(1,-2,2)$ e $(3,2,8)$.

ora io pensato applicando la definizione di spazio generato di calcolare le componenti di un qualsiasi vettore $(x,y,z)inRR^3$ cercando così una relazione tra le componenti.
e dal primo spazio: $(x,y,z)$$=$$(a,2a+4b,3a+b)$ da cui risulta $z=(10x+y)/4$
se ripeto lo stesso procedimento per il secondo gruppo di vettori e chiamando $(x',y',z')$ il generico vettore ricavo che $z'=(10x'+y')/4$

essendo quindi le due equazioni uguali, possiamo concludere che i due spazi sono uguali!

è corretto?
Grazie!

[Injo]

Potevi semplicemente notare che $(1,-2,2) = (1,2,3)-(0,4,1)$ e $(3,2,8)=3(1,2,3)-(0,4,1)$.

Comunque dovrebbe essere giusto anche il tuo ragionamento.

[Gatto891]

Si è giusto, ma come è stato già detto per dimostrare che $ = $ spesso può essere più comodo mostrare che $w_1 = a_1v_1 + a_2v_2$ e $w_2 = b_1v_1 + b_2v_2$ (con ovvia generalizzazione per $n$ vettori).

Nel tuo caso c'era anche un vettore con una coordinata nulla, il che facilitava molto le cose...

[mistake89]

ho capito, grazie mille!