Spazio generato

[davide51]

Salve sono nuovo del forum,
no mi è ben chiara la dimostrazione di questo teorema:
Qualunque sia il sottoinsieme non vuoto $S$ di $V$ , $L(S)$ è un sottospazio di $V$

So che $L(S)$ è lo spazio generato da tutte le combinazioni lineari dei vettori di $V$, ma non so proprio come dimostrare... qualcuno che mi aiuta???

[Cantor99]

Prendi due elementi $u,v in L(S)$ e dimostra che
1) $u+v in L(S)$
2) $kv in L(S)$ qualunque sia lo scalare $k$

[davide51]

"Cantor99":Prendi due elementi $u,v in L(S)$ e dimostra che
1) $u+v in L(S)$
2) $kv in L(S)$ qualunque sia lo scalare $k$

Provo a dimostrare la n 2:

Sia $k in K $, $ v in L(S)$
Poichè $f(kv)=k f(v)$ risulta $kv in L(S)$

Giusto???

ma per la prima???

[Cantor99]

Perché hai introdotto $f$? Chi sarebbe?

Posto $S={w_1,...,w_t}subeV$
Se $u,v in L(S)$ allora esistono $2t$-scalari $a_1,...,a_t,b_1,...,b_t$ tali che
$v=a_1w_1+...+a_tw_t$
$u=a_1w_1+...+b_tw_t$

Ti dimostro la 1)
$v+u=(a_1w_1...+a_tw_t)+(b_1w_1+...+b_tw_t)=(a_1+b_1)w_1+...+(a_t+b_t)w_2$
Posto ora $c_1=a_1+b_1$,...,$c_t=a_t+b_t$ si ha subito che
$u+v=c_1w_1+...+c_tw_t in L(S)$

Prova a seguire lo stesso ragionamento per la 2)

[davide51]

"Cantor99":Perché hai introdotto $f$? Chi sarebbe?

Posto $S={w_1,...,w_t}subeV$
Se $u,v in L(S)$ allora esistono $2t$-scalari $a_1,...,a_t,b_1,...,b_t$ tali che
$v=a_1w_1+...+a_tw_t$
$u=a_1w_1+...+b_tw_t$

Ti dimostro la 1)
$v+u=(a_1w_1...+a_tw_t)+(b_1w_1+...+b_tw_t)=(a_1+b_1)w_1+...+(a_t+b_t)w_2$
Posto ora $c_1=a_1+b_1$,...,$c_t=a_t+b_t$ si ha subito che
$u+v=c_1w_1+...+c_tw_t in L(S)$

Prova a seguire lo stesso ragionamento per la 2)

Ho trovato questa dimostrazione può andare bene??

Se $u,v in L(v_1,v_2,..,v_n)$ allora per ogni $a,b$ in $k$ si ha $au+bv in L(v_1,v_2,..,v_n)$

Pertanto se $ u=a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n$ e $v=b_1v_1+b_2v_2+...+b_nv_n$ si ha:

$au+bv= a(a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n)+b(b_1v_1+b_2v_2+...+b_nv_n)$=

$aa_1v_1+aa_2v_2+...+aa_nv_n+bb_1v_1+bb_2v_2+...+bb_nv_n$=

$(aa_1+bb_1)v_1+(aa_2+bb_2)v_2+...+(aa_n+bb_n)v_n in L(v_1,v_2,...,v_n)$

[Cantor99]

Certo va bene, se ci fai caso
1) e 2) $<=>$ $au+bv in L(S)$