Spazio euclideo V e strano operatore
Ciao Ragazzi, sono di nuovo io e a distanza di una settimana ho avuto altri 2 problemi di cui non ho capito alcune cose:
1°problema: Siano v1,v2,v3 vettori non nulli di uno spazio euclideo V, con v1⊥v2, v1⊥v3,v2⊥v3. Dimostrare che essi sono linearmente dipendenti.
Soluzione: Allora so che affinché i 3 vettori siano linearmente indipendenti a1v1+a2v2+a3v3=0 quindi a1=a2=a3=0, cioè se il sistema omogeneo ammette soluzione banale. Sapendo che perché siano tra loro perpendicolari il prodotto scale =0 quindi 〈a1v1+a2v2+a3v3〉= a1||v1|| = 0 . Non capisco questo passaggio!! Eseguendo il prodotto scalare mi rimane a1v1^2=0 ma v1^2 non è uguale alla norma di v1!!! O sbaglio??
2°problema: Sia T:M(2x2,R) → M(2x2,R) l'operatore definito T((ax+by,cx+dy))=(dx+by,cx+ay). Stabilire se T è diagonalizzabile, individuando eventuamente una base di autovettori.
Soluzione: scrive una matrice che rappresenta T (4x4) e già li non capisco perché...Trova poi il polinomio caratteristico e quindi gli autovalori. Poi dimostra che T è diagonalizzabile mostrando l'autospazio V1 che ha dimensione 3. Conclude dicendo che una base è (1,0,0,1),(0,1,0,0),(0,0,1,0), mentre una base di V-1 (non so cosa voglia indicare) è (1,0,0,-1)
Vi prego aiutatemi che non ci salto fuori!!!!!! Grazie mille a tutti.
1°problema: Siano v1,v2,v3 vettori non nulli di uno spazio euclideo V, con v1⊥v2, v1⊥v3,v2⊥v3. Dimostrare che essi sono linearmente dipendenti.
Soluzione: Allora so che affinché i 3 vettori siano linearmente indipendenti a1v1+a2v2+a3v3=0 quindi a1=a2=a3=0, cioè se il sistema omogeneo ammette soluzione banale. Sapendo che perché siano tra loro perpendicolari il prodotto scale =0 quindi 〈a1v1+a2v2+a3v3〉= a1||v1|| = 0 . Non capisco questo passaggio!! Eseguendo il prodotto scalare mi rimane a1v1^2=0 ma v1^2 non è uguale alla norma di v1!!! O sbaglio??
2°problema: Sia T:M(2x2,R) → M(2x2,R) l'operatore definito T((ax+by,cx+dy))=(dx+by,cx+ay). Stabilire se T è diagonalizzabile, individuando eventuamente una base di autovettori.
Soluzione: scrive una matrice che rappresenta T (4x4) e già li non capisco perché...Trova poi il polinomio caratteristico e quindi gli autovalori. Poi dimostra che T è diagonalizzabile mostrando l'autospazio V1 che ha dimensione 3. Conclude dicendo che una base è (1,0,0,1),(0,1,0,0),(0,0,1,0), mentre una base di V-1 (non so cosa voglia indicare) è (1,0,0,-1)
Vi prego aiutatemi che non ci salto fuori!!!!!! Grazie mille a tutti.
Risposte
Per il primo esercizio praticamente ci sei. Infatti sei arrivato a concludere che è \(\displaystyle a_1v_1^2=0 \) e da qui ,essendo \(\displaystyle v_1\neq 0 \) per ipotesi ,hai \(\displaystyle a_1=0 \). Analogamente ottieni che \(\displaystyle a_2=a_3=0 \) e questo prova l'indipendenza lineare dei tre vettori.
Per il secondo esercizio ho pensato che sostanzialmente T equivale a un endomorfismo di \(\displaystyle \mathbb{R}^4 ->\mathbb{R}^4 \) definito da :
\(\displaystyle T(a,b,c,d)=(d,b,c,a) \) in cui si scambiano a e d mentre b e c restano fissi, come si può osservare dalla formula con la quale è definito l'operatore T. La matrice collegata a T è allora:
\(\displaystyle \begin{bmatrix}0,0,0,1\\0,1,0,0\\0,0,1,0\\1,0,0,0 \end{bmatrix} \)
Di conseguenza l'equazione agli autovalori è :
det \(\displaystyle \begin{bmatrix}-\lambda,0,0,1\\0,1-\lambda,0,0\\0,0,1-\lambda,0\\1,0,0,-\lambda \end{bmatrix}=0 \)
Ovvero :
\(\displaystyle (1-\lambda)^3(1+\lambda)=0 \)
e quindi gli autovalori sono \(\displaystyle \lambda_1=1,\lambda_2=-1 \) , il primo con molteplicità algebrica 3 ed il secondo con molteplicità 1.
Se fai i calcoli come di norma trovi che l'autospazio \(\displaystyle V_1 \) relativo al primo autovettore ha dimensione 3 e l'autospazio \(\displaystyle V_{-1} \)relativo al secondo autovettore ha dimensione 1. Poiché le molteplicità algebriche coincidono con quelle geometriche corrispondenti l'operatore T è diagonalizzabile.
Per il secondo esercizio ho pensato che sostanzialmente T equivale a un endomorfismo di \(\displaystyle \mathbb{R}^4 ->\mathbb{R}^4 \) definito da :
\(\displaystyle T(a,b,c,d)=(d,b,c,a) \) in cui si scambiano a e d mentre b e c restano fissi, come si può osservare dalla formula con la quale è definito l'operatore T. La matrice collegata a T è allora:
\(\displaystyle \begin{bmatrix}0,0,0,1\\0,1,0,0\\0,0,1,0\\1,0,0,0 \end{bmatrix} \)
Di conseguenza l'equazione agli autovalori è :
det \(\displaystyle \begin{bmatrix}-\lambda,0,0,1\\0,1-\lambda,0,0\\0,0,1-\lambda,0\\1,0,0,-\lambda \end{bmatrix}=0 \)
Ovvero :
\(\displaystyle (1-\lambda)^3(1+\lambda)=0 \)
e quindi gli autovalori sono \(\displaystyle \lambda_1=1,\lambda_2=-1 \) , il primo con molteplicità algebrica 3 ed il secondo con molteplicità 1.
Se fai i calcoli come di norma trovi che l'autospazio \(\displaystyle V_1 \) relativo al primo autovettore ha dimensione 3 e l'autospazio \(\displaystyle V_{-1} \)relativo al secondo autovettore ha dimensione 1. Poiché le molteplicità algebriche coincidono con quelle geometriche corrispondenti l'operatore T è diagonalizzabile.
Grazie infinite!!!
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