Spazio duale
Buonasera, ho qualche problema con lo spazio duale. Avevo postato tempo fa una discussione ma non so perche' non posso piu' modificarla.
Ho studiato una proposizione secondo cui, $V$ e $V*$ sono in biiezione avendo stessa dimensione n. Per dimostrarla prendo una base di $V$, questa base ha ovviamente dimensione n, allora basta costruire una base di $V*$ che abbia dimensione n per ottenere l'isomorfismo. La base va costruita e successivamente si fa la verifica a posteriori per controllare che effettivamente parliamo di una base.
La base di $V*$ si costruisce cosi:
Chiamo $B={v_1,...,v_n}$ la base di $V$, indico con $v_i *$ l'applicazione $V -> K$ che ad ogni elemento $v= v_1 a_1+...+v_n a_n$ di V associa la coordinata $a_i$. La mia base duale e' $B*={ v_1*... v_n*}$
Il mio problema e' quando passo alla pratica. Come faccio ad applicare questo procedimento di costruzione della base duale alla pratica? Esiste un altro procedimento, che deriva da questo per trovare una base duale a partire dalla base?
Ho studiato una proposizione secondo cui, $V$ e $V*$ sono in biiezione avendo stessa dimensione n. Per dimostrarla prendo una base di $V$, questa base ha ovviamente dimensione n, allora basta costruire una base di $V*$ che abbia dimensione n per ottenere l'isomorfismo. La base va costruita e successivamente si fa la verifica a posteriori per controllare che effettivamente parliamo di una base.
La base di $V*$ si costruisce cosi:
Chiamo $B={v_1,...,v_n}$ la base di $V$, indico con $v_i *$ l'applicazione $V -> K$ che ad ogni elemento $v= v_1 a_1+...+v_n a_n$ di V associa la coordinata $a_i$. La mia base duale e' $B*={ v_1*... v_n*}$
Il mio problema e' quando passo alla pratica. Come faccio ad applicare questo procedimento di costruzione della base duale alla pratica? Esiste un altro procedimento, che deriva da questo per trovare una base duale a partire dalla base?
Risposte
"ludovica_97":
Ho studiato una proposizione secondo cui, $V$ e $V*$ sono in biiezione
Non sono in biiezione, sono proprio isomorfi (cioè la biiezione è anche $k$-lineare, se lo spazio $V$ è definito sul campo $k$)
avendo stessa dimensione n. Per dimostrarla prendo una base di $V$, questa base ha ovviamente dimensione n
Una base non ha "dimensione" ha un "numero di elementi".
Il mio problema e' quando passo alla pratica. Come faccio ad applicare questo procedimento di costruzione della base duale alla pratica? Esiste un altro procedimento, che deriva da questo per trovare una base duale a partire dalla base?
Qual è la "pratica" a cui vuoi passare? Fai questa costruzione in un caso particolare, è tutto lì; per esempio, su $k^3$ quando la base $B$ è fatta da $(1,1,0), (1,0,0), (2,0,1)$. Buon lavoro!
Non capisco come posso procedere. Allora, se io ragionassi come per la dimostrazione allora gli elementi della base duale sarebbero $v_i *: k^3 -> k$ quindi non ho altro da fare che trovare queste funzioni. Per ogni funzione so che se prendo un elemento in $k^3$ (nel mio caso prendo ad esempio (1,1,0)) $v_1 * (1,1,0) = a_i$ il problema e' che non capisco cosa sia $a_i$. Nella dimostrazione mi e' chiaro ma qui cosa sarebbe?
La base duale $\{v^i\}$ di una base data $\{v_i\}$ è definita dalla regola $v^i (v_j)=\delta_{ij}$. Con questa informazione, i conti tornano.
(Questo significa che $v^1(1,1,0)$ deve fare 1 e $v^1$ degli altri due vettori deve fare zero: questo si traduce in un sistema lineare nei coefficienti di $v^1$... che però è equivalente a trovare un vettore ortogonale a $v_1$! Che scoperta sensazionale! Sembra quasi che questo suggerisca una qualche correlazione tra la dualità di spazi vettoriali e la relazione di ortogonalità tra vettori... Dovremmo indagare più a fondo questa misteriosa e affascinante simmetria!)
(Questo significa che $v^1(1,1,0)$ deve fare 1 e $v^1$ degli altri due vettori deve fare zero: questo si traduce in un sistema lineare nei coefficienti di $v^1$... che però è equivalente a trovare un vettore ortogonale a $v_1$! Che scoperta sensazionale! Sembra quasi che questo suggerisca una qualche correlazione tra la dualità di spazi vettoriali e la relazione di ortogonalità tra vettori... Dovremmo indagare più a fondo questa misteriosa e affascinante simmetria!)
Ok, quindi, la mia base duale sarebbe $B*={ x_2, x_1-x_2-2x_3 , x_3}$ ?
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