Spazio duale

[meck90]

Ciao a tutti, qualquno mi può spiegare come si costruisce la base canonica dello spazio duale ?

Ho letto che la base di uno spazio duale è costituita dal differenziale delle singole variabili; ad esempio se considero lo spazio $R^3$ delle ennuple ${x,y,z}$ una base del suo duale è: ${dx,dy,dz}$.


grazie a tutti

[5mrkv]

Per la questione del differenziale consulta un libro di geometria. Per il resto se con \(v \in \mathbb{R}^{n}\) con \(v=c_{1}e_{1}+...+c_{n}e_{n}\) hai \(dx^{i}(v)=c_{i}\) quindi se \(L\) è lineare
\begin{split}
Lv
&=L(c_{1}e_{1}+...+c_{n}e_{n}) \\
&=c_{1}Le_{1}+...+c_{n}Le_{n} \\
&=dx^{1}(v)Le_{1}+...+dx^{n}(v)Le_{n} \\
&=dx^{1}(v)b_{1}+...+dx^{n}(v)b_{n} \\
&=(dx^{1}b_{1}+...+dx^{n}b_{n})(v) \\
\end{split}
L'unicità puoi mostrarla da solo. Se \(Lv=0\) al variare di \(v\) hai l'applicazione nulla o il vettore nullo dello spazio duale. Sostituendo in \(L\) l'espressione precedente e sviluppando vedi che i coefficienti sono per forza nulli. Per quanto riguarda il libro conosco solo questo link.

[meck90]

Grazie 1000 per la risposta.
Quindi, in maniera molto elementare (perdonami l'ignoranza), se considero una base di $R^2$: ${(2,1),(3,2)}$ e la base duale ${dx_1,dx_2}$ per il delta di Kronecker dovrei avere:
$dx_1(2,1)=1$
$dx_2(2,1)=0$
$dx_1(3,2)=0$
$dx_2(3,2)=1$

dunque nel primo caso:
$dx_1(2,1)=1$=$dx_1(c_1*e_1+c_2*e_2)$=$c_1dx_1(e_1)+c_2dx_1(e_2)=c_1+0=c_1$ $!=$ $1$ $???????????$

grazie ancora

[5mrkv]

Dimmi prima cosa vuoi mostrare. L'uguaglianza che segue da dunque nel primo caso è sbagliato ed hai mostrato anche il perché. L'azione di una delle funzioni \(dx^{i}\) su un vettore \(v=c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}\) restituisce la sua coordinata i-esima e non uno, che è il risultato dell'azione su uno dei vettori della base.

[killing_buddha]

"meck":Ciao a tutti, qualquno mi può spiegare come si costruisce la base canonica dello spazio duale ?

Ho letto che la base di uno spazio duale è costituita dal differenziale delle singole variabili; ad esempio se considero lo spazio $R^3$ delle ennuple ${x,y,z}$ una base del suo duale è: ${dx,dy,dz}$.


grazie a tutti

Mi sembra una spiegazione piuttosto raffazzonata; leggi qui.

[killing_buddha]

"meck":Grazie 1000 per la risposta.
Quindi, in maniera molto elementare (perdonami l'ignoranza), se considero una base di $R^2$: ${(2,1),(3,2)}$ e la base duale ${dx_1,dx_2}$...

...la base duale e' definita univocamente dalla condizione $e^i(e_j)=\delta_{ij}$; la base duale di $\mathbb R^2$ rispetto alla base ${(2,1),(3,2)}$ e' allora ${(a,b), (c,d)}$ dove
$$
\begin{cases}
2a+b=1 \\ 3a+2b=0
\end{cases}
$$
e
$$
\begin{cases}
2c+d = 0 \\
3c+2d=1
\end{cases}
$$
Sono certo che ora sai risolvere questi due sistemi.

[meck90]

grazie per la pazienza.
Allora ragionando a ritroso, data la base dello spazio duale: ${dx_1,dx_2}$, qual'è la base corrispondente nello spazio vettoriale $R^2$ ?

grazie ancora

[killing_buddha]

Il duale del duale e' (canonicamente) lo spazio di partenza...

[meck90]

GRAZIE 1000 !!!