Spazio derivazioni di una spiga di germi
Cosa devo dire per provare che lo spazio delle derivazioni della spiga di germi di funzioni differenziabili costituisce uno spazio vettoriale di dimensione finita?
Risposte
[OT] Ti ringrazio per questo intervento. Ho finalmente capito a cosa si riferisce il termine "germ" in geometria differenziale: non ai germi nel senso dei microrganismi, come pensavo, ma ai germi del grano! 
[/OT]
Comunque, la notazione non è universale, quindi non so bene cosa intendi, ma in linea di massima ti direi: prendi una carta locale e considera le derivazioni rispetto alle coordinate locali - esse dovrebbero formare una base dello spazio che dici.
[/OT]Comunque, la notazione non è universale, quindi non so bene cosa intendi, ma in linea di massima ti direi: prendi una carta locale e considera le derivazioni rispetto alle coordinate locali - esse dovrebbero formare una base dello spazio che dici.
Concordo con dissonance.
intendo questo
http://it.wikipedia.org/wiki/Germe_di_funzione
Lo spazio delle derivazioni è questo $M_P/M_P^2$ dove $M_P$ è l'ideale dei germi che si annullano in $P$ e indico con $\bar [f]$ un elemento di questo quoziente.
Usando lo sviluppo di taylor con il resto integrale riesco a dire che $\bar [g]= sum (\partial g)/(\partial x_i)|_P *\bar[x_i]$
ora dovrei dire che gli $\bar[x_i]$ sono una base...
(intorno a $\bar [f], \bar [g], \bar [x_i]$ dovrebbero esserci delleparentesi quadre per fare vedere che sono classi di germi, ma non so come visualizzarle...)
http://it.wikipedia.org/wiki/Germe_di_funzione
Lo spazio delle derivazioni è questo $M_P/M_P^2$ dove $M_P$ è l'ideale dei germi che si annullano in $P$ e indico con $\bar [f]$ un elemento di questo quoziente.
Usando lo sviluppo di taylor con il resto integrale riesco a dire che $\bar [g]= sum (\partial g)/(\partial x_i)|_P *\bar[x_i]$
ora dovrei dire che gli $\bar[x_i]$ sono una base...
(intorno a $\bar [f], \bar [g], \bar [x_i]$ dovrebbero esserci delleparentesi quadre per fare vedere che sono classi di germi, ma non so come visualizzarle...)
La cosa funziona così: visto che lavori su $M_P/{M_P^2}$ potrai scrivere che
[tex]$\bar{g}=\sum_{i=1}^n (g_i)_P\cdot \bar{x}_i$[/tex] a meno di termini in $M_P^2$. (e questo già lo hai fatto vedere).
Ora basta solo dimostrare che gli elementi $\bar{x}_i$ sono linearmente indipendenti. Per fare ciò, supponi che
[tex]$\sum_{i=1}^n c_i\cdot \bar{x}_i=0$[/tex] (il germe "nullo" in $M_P$).
Ora esistono delle funzioni reali $h_{ij}(x)$ in un intorno di $P$ tali che (sai dire il perché?)
[tex]$\sum_{i=1}^n c_i\cdot x_i=\sum_{i,j=1}^n x_i\cdot x_j\cdot h_{ij}(x)$[/tex]
Se ora derivi rispetto a $\partial/{\partial x_i}$ troverai che $c_i=0,\ i=1,\ldots,n$.
NOTA: in realtà io sto supponendo che $P=0$, ma se ci pensi un attimo, la cosa funziona sempre.
P:S: PER I MOD: io sposterei in geometria.
[tex]$\bar{g}=\sum_{i=1}^n (g_i)_P\cdot \bar{x}_i$[/tex] a meno di termini in $M_P^2$. (e questo già lo hai fatto vedere).
Ora basta solo dimostrare che gli elementi $\bar{x}_i$ sono linearmente indipendenti. Per fare ciò, supponi che
[tex]$\sum_{i=1}^n c_i\cdot \bar{x}_i=0$[/tex] (il germe "nullo" in $M_P$).
Ora esistono delle funzioni reali $h_{ij}(x)$ in un intorno di $P$ tali che (sai dire il perché?)
[tex]$\sum_{i=1}^n c_i\cdot x_i=\sum_{i,j=1}^n x_i\cdot x_j\cdot h_{ij}(x)$[/tex]
Se ora derivi rispetto a $\partial/{\partial x_i}$ troverai che $c_i=0,\ i=1,\ldots,n$.
NOTA: in realtà io sto supponendo che $P=0$, ma se ci pensi un attimo, la cosa funziona sempre.
P:S: PER I MOD: io sposterei in geometria.
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