Spazio derivazioni di una spiga di germi

nato_pigro1
Cosa devo dire per provare che lo spazio delle derivazioni della spiga di germi di funzioni differenziabili costituisce uno spazio vettoriale di dimensione finita?

Risposte
dissonance
[OT] Ti ringrazio per questo intervento. Ho finalmente capito a cosa si riferisce il termine "germ" in geometria differenziale: non ai germi nel senso dei microrganismi, come pensavo, ma ai germi del grano! :-) [/OT]

Comunque, la notazione non è universale, quindi non so bene cosa intendi, ma in linea di massima ti direi: prendi una carta locale e considera le derivazioni rispetto alle coordinate locali - esse dovrebbero formare una base dello spazio che dici.

ciampax
Concordo con dissonance.

nato_pigro1
intendo questo
http://it.wikipedia.org/wiki/Germe_di_funzione
Lo spazio delle derivazioni è questo $M_P/M_P^2$ dove $M_P$ è l'ideale dei germi che si annullano in $P$ e indico con $\bar [f]$ un elemento di questo quoziente.
Usando lo sviluppo di taylor con il resto integrale riesco a dire che $\bar [g]= sum (\partial g)/(\partial x_i)|_P *\bar[x_i]$

ora dovrei dire che gli $\bar[x_i]$ sono una base...


(intorno a $\bar [f], \bar [g], \bar [x_i]$ dovrebbero esserci delleparentesi quadre per fare vedere che sono classi di germi, ma non so come visualizzarle...)

ciampax
La cosa funziona così: visto che lavori su $M_P/{M_P^2}$ potrai scrivere che

[tex]$\bar{g}=\sum_{i=1}^n (g_i)_P\cdot \bar{x}_i$[/tex] a meno di termini in $M_P^2$. (e questo già lo hai fatto vedere).

Ora basta solo dimostrare che gli elementi $\bar{x}_i$ sono linearmente indipendenti. Per fare ciò, supponi che

[tex]$\sum_{i=1}^n c_i\cdot \bar{x}_i=0$[/tex] (il germe "nullo" in $M_P$).

Ora esistono delle funzioni reali $h_{ij}(x)$ in un intorno di $P$ tali che (sai dire il perché?)

[tex]$\sum_{i=1}^n c_i\cdot x_i=\sum_{i,j=1}^n x_i\cdot x_j\cdot h_{ij}(x)$[/tex]

Se ora derivi rispetto a $\partial/{\partial x_i}$ troverai che $c_i=0,\ i=1,\ldots,n$.

NOTA: in realtà io sto supponendo che $P=0$, ma se ci pensi un attimo, la cosa funziona sempre.

P:S: PER I MOD: io sposterei in geometria.

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