Spazio delle successioni limitate è completo
Dimostra che lo spazio delle successioni limitate con la distanza sup è completo.
Io ho pensato di farlo così, vi sembra corretto?
Possiamo vedere questo spazio come un sottospazio di \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \) prendiamo una successione \(d_{\infty}\)-Cauchy \( (x_n^{k})_{n,k \in \mathbb{N}}\).
Dobbiamo dimostrare che tutte le successioni (di successioni) di Cauchy convergono a qualche successione \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\).
Fissato \(k \in \mathbb{N} \) allora \( x_1^k, x_2^k, \ldots \) è la \(k\)-esima successione della nostra successione di Cauchy.
Formiamo una nuova successione \( (x_{1}^{k})_{k \in \mathbb{N}} \) di \( (\mathbb{R},d) \), dove\(d\) è la distanza euclidea, siccome \(\mathbb{R} \) è sequenzialmente comppato allora è completo pertanto ogni successione \(d\)-Cauchy converge ad un qualche \(x\).
Poiché \( (x_n^{k})_{n,k \in \mathbb{N}}\) è \(d_{\infty}\)-Cauchy abbiamo in particolare che \( (x_{1}^{k})_{k \in \mathbb{N}} \) è \(d\)-Cauchy infatti per ogni \( \epsilon>0 \) possiamo trovare un \(k_{\epsilon}\) tale che \(k,j \geq k_{\epsilon}\) e risulta
\[ d_{\infty}(x_n^{k},x_n^{j}) < \epsilon \]
In particolare
\[ d(x_1^{k},x_1^{j}) \leq \sup_{n \in \mathbb{N}} d(x_n^{k},x_n^{j})= d_{\infty}(x_n^{k},x_n^{j}) \]
Dunque \( (x_{1}^{k})_{k \in \mathbb{N}} \) converge a \(x_1\)
Fissiamo \(n \in \mathbb{N} \) e consideriamo \( (x_{n}^{k})_{k \in \mathbb{N}} \) per l'argomentazione qui sopra risulta che \( (x_{n}^{k})_{k \in \mathbb{N}} \) è \(d\)-Cauchy, e quindi converge a \(x_n\).
Inoltre la successione \( (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) appartiene a \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \) inoltre è limitata poiché ciascuna componente è il limite di una successione limitata, poiché ciascuna \(k\)-esima componente della successione \( (x_{n}^{k})_{k \in \mathbb{N}} \) è limitata in quanto è \(n\)-esima componente di una successione \( (x_{n}^{k})_{n \in \mathbb{N}} \) limitata.
Pertanto \( (x_n^{k})_{n,k \in \mathbb{N}}\) converge a \( (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \), siccome abbiamo che una successione converge se e solo se converge su ogni componente.
Io ho pensato di farlo così, vi sembra corretto?
Possiamo vedere questo spazio come un sottospazio di \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \) prendiamo una successione \(d_{\infty}\)-Cauchy \( (x_n^{k})_{n,k \in \mathbb{N}}\).
Dobbiamo dimostrare che tutte le successioni (di successioni) di Cauchy convergono a qualche successione \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\).
Fissato \(k \in \mathbb{N} \) allora \( x_1^k, x_2^k, \ldots \) è la \(k\)-esima successione della nostra successione di Cauchy.
Formiamo una nuova successione \( (x_{1}^{k})_{k \in \mathbb{N}} \) di \( (\mathbb{R},d) \), dove\(d\) è la distanza euclidea, siccome \(\mathbb{R} \) è sequenzialmente comppato allora è completo pertanto ogni successione \(d\)-Cauchy converge ad un qualche \(x\).
Poiché \( (x_n^{k})_{n,k \in \mathbb{N}}\) è \(d_{\infty}\)-Cauchy abbiamo in particolare che \( (x_{1}^{k})_{k \in \mathbb{N}} \) è \(d\)-Cauchy infatti per ogni \( \epsilon>0 \) possiamo trovare un \(k_{\epsilon}\) tale che \(k,j \geq k_{\epsilon}\) e risulta
\[ d_{\infty}(x_n^{k},x_n^{j}) < \epsilon \]
In particolare
\[ d(x_1^{k},x_1^{j}) \leq \sup_{n \in \mathbb{N}} d(x_n^{k},x_n^{j})= d_{\infty}(x_n^{k},x_n^{j}) \]
Dunque \( (x_{1}^{k})_{k \in \mathbb{N}} \) converge a \(x_1\)
Fissiamo \(n \in \mathbb{N} \) e consideriamo \( (x_{n}^{k})_{k \in \mathbb{N}} \) per l'argomentazione qui sopra risulta che \( (x_{n}^{k})_{k \in \mathbb{N}} \) è \(d\)-Cauchy, e quindi converge a \(x_n\).
Inoltre la successione \( (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) appartiene a \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \) inoltre è limitata poiché ciascuna componente è il limite di una successione limitata, poiché ciascuna \(k\)-esima componente della successione \( (x_{n}^{k})_{k \in \mathbb{N}} \) è limitata in quanto è \(n\)-esima componente di una successione \( (x_{n}^{k})_{n \in \mathbb{N}} \) limitata.
Pertanto \( (x_n^{k})_{n,k \in \mathbb{N}}\) converge a \( (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \), siccome abbiamo che una successione converge se e solo se converge su ogni componente.
Risposte
Intanto $RR$ non è sequenzialmente compatto, ma comunque è completo. Poi la successione limite non è chiaro perché debba essere limitata (lo è ma non basta quello che hai scritto. Infine non è vero che se una successione converge componente per componente allora converge (trova un controesempio).
Beh dato \( [0,1] \) con la topologia standard, e una successione \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \) in \( [0,1]^{\mathbb{N} } \) con la box topology, allora \( x_n \) converge se e solo se esiste un insieme finito \( J \subset \mathbb{N} \) e un qualche \( N \in \mathbb{N} \) tale che per ogni \( n > N \) abbiamo che \( x_n(t) \) è costante per tutti i \( t \in \mathbb{N} \setminus J \).
Dove con la scrittura \( x_n(t) \) intendo \( x_n : I \to \bigcup_i [0,1]_i \) e \( t \mapsto x_n(t) \in [0,1]_t \)
Quindi data una qualunque successione in cui le componenti convergono ma non sono costanti allora non converge.
Però in nella topologia prodotto abbiamo che data una collezione \( (X_i,\tau_i))_{i \in I} \) di spazi topologici e una successione \((x_n)_{n \geq 1} \) converge ad un certo \(x \in \prod_i X_i \) se e solo se per ogni \(i \in I \) abbiamo che \( (x_n(i))_{n \geq 1} \) converge a \( x(i) \).
Quindi consideranto \( (\mathbb{R},d_{\infty}) \) induce una topologia e considerando \( (\mathbb{R}^{\mathbb{N}}, d_{\infty} ) \) dove nel secondo caso la distanza \( d_{\infty} \) è da considerarsi sul prodotto topologico della topologia indotta da \( d_{\infty} \) su \( \mathbb{R} \), abbiamo che se una successione converge per ogni componente allora converge.
Dove con la scrittura \( x_n(t) \) intendo \( x_n : I \to \bigcup_i [0,1]_i \) e \( t \mapsto x_n(t) \in [0,1]_t \)
Quindi data una qualunque successione in cui le componenti convergono ma non sono costanti allora non converge.
Però in nella topologia prodotto abbiamo che data una collezione \( (X_i,\tau_i))_{i \in I} \) di spazi topologici e una successione \((x_n)_{n \geq 1} \) converge ad un certo \(x \in \prod_i X_i \) se e solo se per ogni \(i \in I \) abbiamo che \( (x_n(i))_{n \geq 1} \) converge a \( x(i) \).
Quindi consideranto \( (\mathbb{R},d_{\infty}) \) induce una topologia e considerando \( (\mathbb{R}^{\mathbb{N}}, d_{\infty} ) \) dove nel secondo caso la distanza \( d_{\infty} \) è da considerarsi sul prodotto topologico della topologia indotta da \( d_{\infty} \) su \( \mathbb{R} \), abbiamo che se una successione converge per ogni componente allora converge.
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