Spazio delle matrici
Con $M_{m xx n} (\mathbb{R})$ si indica uno spazio vettoriale $V = M_{m xx n} (\mathbb{R})$ su $\mathbb{R}$ ma mi fate un picolo esempio? Se rimango nell'astratto è come se fossero concetti aleatori.
Sia $A \in M_{m xx n} (\mathbb{R})$ e sia $W = {\xi \in \mathbb{R} : A \xi = 0}$ la matrice $A$ sarebbe lo spazio vettoriale $V$? su $\mathbb{R}$ (ma "su $\mathbb{R}$" cosa significa di preciso?) e $W$ quindi sarebbe un sottoinsieme di cosa?
Io a intuito vedo che si si riferisce a un sistema omogeneo, però sinceramente, non mi ci trovo ancora bene a ragionare in geometria...
$W$ non nullo è isomorfo alla spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogenep sempre in un opportuno numero di incognite...cioè?
$\xi \in W$ allora $\xi = t_1 \xi_1 + ...+ t_n-r * \xi_n-r$
$rg B = (\xi^1 \xi^2-------\xi^n-r) = n -r$ perchè? cosa ho dimostrato?
Grazie mille ragazzi
Sia $A \in M_{m xx n} (\mathbb{R})$ e sia $W = {\xi \in \mathbb{R} : A \xi = 0}$ la matrice $A$ sarebbe lo spazio vettoriale $V$? su $\mathbb{R}$ (ma "su $\mathbb{R}$" cosa significa di preciso?) e $W$ quindi sarebbe un sottoinsieme di cosa?
Io a intuito vedo che si si riferisce a un sistema omogeneo, però sinceramente, non mi ci trovo ancora bene a ragionare in geometria...
$W$ non nullo è isomorfo alla spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogenep sempre in un opportuno numero di incognite...cioè?
$\xi \in W$ allora $\xi = t_1 \xi_1 + ...+ t_n-r * \xi_n-r$
$rg B = (\xi^1 \xi^2-------\xi^n-r) = n -r$ perchè? cosa ho dimostrato?
Grazie mille ragazzi
Risposte
"smaug":
Con $M_{m xx n} (\mathbb{R})$ si indica uno spazio vettoriale $V = M_{m xx n} (\mathbb{R})$ su $\mathbb{R}$ ma mi fate un picolo esempio? Se rimango nell'astratto è come se fossero concetti aleatori.
Sia $A \in M_{m xx n} (\mathbb{R})$ e sia $W = {\xi \in \mathbb{R} : A \xi = 0}$ la matrice $A$ sarebbe lo spazio vettoriale $V$? su $\mathbb{R}$ (ma "su \mathbb{R}" cosa significa di preciso?) e $W$ quindi sarebbe un sottoinsieme di cosa?
Interpreto... Lo spazio delle matrici $M_{m xx n} (RR)$ non è altro che l'insieme delle matrici di $m$ righe ed $n$ colonne i cui elementi sono numeri reali. $M_{m xx n} (RR)$, con le operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare, è uno spazio vettoriale sul campo reale.
Fissata comunque una matrice $A$ in questo spazio, definisci $W = { \xi \in RR : A \xi = 0 }$ cioè $Ker(A)$, il nucleo della matrice $A$... Ma poi...?
ho riscritto quello che c'è sulle dispense...non son molto chiare! Seneca potresti spiegarmi cosa è un campo? per me la definizione è poco chiara, grazie.
Potrei, ma è una definizione che si trova quasi ovunque! La nozione di campo (o corpo commutativo) è molto importante nella trattazione che seguirai dell'algebra lineare. Infatti non puoi dare uno spazio vettoriale senza specificare su che campo di scalari lo consideri.
Nota:
Saprai, p. es., che $CC$ è isomorfo ad $RR^2$ e che $RR^2$ è uno spazio vettoriale sul campo $RR$; puoi quindi pensare $CC$ come spazio vettoriale di dimensione $2$ su $RR$. D'altra parte anche $CC$ è un campo e quindi $CC$ puoi immaginarlo come spazio vettoriale su $CC$ stesso (e non su $RR$) ed è tutta un'altra storia perché stavolta la dimensione è $1$...
Nota:
Saprai, p. es., che $CC$ è isomorfo ad $RR^2$ e che $RR^2$ è uno spazio vettoriale sul campo $RR$; puoi quindi pensare $CC$ come spazio vettoriale di dimensione $2$ su $RR$. D'altra parte anche $CC$ è un campo e quindi $CC$ puoi immaginarlo come spazio vettoriale su $CC$ stesso (e non su $RR$) ed è tutta un'altra storia perché stavolta la dimensione è $1$...
Nella definizione di $W$, $xi$ deve essere un vettore di $RR^n$, sennò non ha molto senso. $W$ è un sottoinsieme di $RR^n$ che ha la caratteristica di essere un sottospazio vettoriale, come si dimostra facilmente. Per esempio, geometricamente parlando, potrebbe essere una retta o un piano passante per l'origine.
@Seneca
Per terna cosa si intende precisamente? nel caso della somma che significa $\mathbb{K} xx \mathbb{K} -> \mathbb{K}$?
Grazie
Per terna cosa si intende precisamente? nel caso della somma che significa $\mathbb{K} xx \mathbb{K} -> \mathbb{K}$?
Grazie
Un campo è un oggetto di questo tipo: $(K , + , * )$ cioè un insieme $K$ su cui sono definite due operazioni binarie $+$ e $*$ (e valgono le proprietà che ora non riscrivo).
Un'operazione binaria (p.es. la somma) è una applicazione di $K times K$ in $K$ che ad ogni coppia di elementi $a,b \in K$ associa un elemento di $K$.
Un'operazione binaria (p.es. la somma) è una applicazione di $K times K$ in $K$ che ad ogni coppia di elementi $a,b \in K$ associa un elemento di $K$.
"Seneca":
Un campo è un oggetto di questo tipo: $(K , + , * )$ cioè un insieme $K$ su cui sono definite due operazioni binarie $+$ e $*$ (e valgono le proprietà che ora non riscrivo).
Un'operazione binaria (p.es. la somma) è una applicazione di $K times K$ in $K$ che ad ogni coppia di elementi $a,b \in K$ associa un elemento di $K$.
la somma precisamente è un'operazione binaria interna, il prodotto esterna. Giusto?
Grazie mille
"smaug":
la somma precisamente è un'operazione binaria interna, il prodotto esterna. Giusto?
No, sono entrambe operazioni interne...
Seneca di questo però ero sicuro, ho preso il libro e senti cosa dice:
l'operazione di prodotto per uno scalare (dove $\alpha \in \mathbb{C}$ ed il vettore $x \in \mathbb{C^n}$) è binaria perchè opera su due elementi, ma è esterna perchè uno dei due, lo scalare, non appartiene all'insieme $\mathbb{C^n}$ perchè?
l'operazione di prodotto per uno scalare (dove $\alpha \in \mathbb{C}$ ed il vettore $x \in \mathbb{C^n}$) è binaria perchè opera su due elementi, ma è esterna perchè uno dei due, lo scalare, non appartiene all'insieme $\mathbb{C^n}$ perchè?
Certo... Ma il prodotto che stiamo considerando non è il prodotto per uno scalare, ma è il prodotto del campo $K$.
Il prodotto per uno scalare è un'applicazione definita sul prodotto cartesiano $K \times V$ a valori in $V$.
Il prodotto per uno scalare è un'applicazione definita sul prodotto cartesiano $K \times V$ a valori in $V$.
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