Spazio delle colonne
Determinare quali delle seguenti matrici hanno lo stesso spazio delle colonne:
$ A = [ ( 1 , 1 , 2 ), ( 1 , 2 , 1 ) ,( 3 , 5 , 4 ) ] $
$ B = [ ( 1 , 2 , 3 ),( 3 , 3 , 2 ),( 7 , 8 , 7 ) ] $
$ C = [ ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 3 ) ] $
Svolgendo i calcoli, la dimensione della trasposta di $ A $ viene 2, della trasposta di $ B $ viene 2 e di $ C$ viene 3.
Poi mettendo a sistema $A$ e $B$
$ [ ( 1 , 1 , 3 ),( 0 , 1 , 2 ),( 1 , 3 , 7 ),( 0 , 1 , 2 ) ] = [ ( 1 , 1 , 3 ),( 0 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] $
viene che la dimensione è 2, concludendo che quindi sono lo stesso sottospazio.
Ho trovato questo esercizio nelle esercitazioni dell'assistente del professore, quindi dovrebbe essere giusto.. eppure non ne sono convinta.
Mi confermate che è giusto? Avete altri esercizi così?
$ A = [ ( 1 , 1 , 2 ), ( 1 , 2 , 1 ) ,( 3 , 5 , 4 ) ] $
$ B = [ ( 1 , 2 , 3 ),( 3 , 3 , 2 ),( 7 , 8 , 7 ) ] $
$ C = [ ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 3 ) ] $
Svolgendo i calcoli, la dimensione della trasposta di $ A $ viene 2, della trasposta di $ B $ viene 2 e di $ C$ viene 3.
Poi mettendo a sistema $A$ e $B$
$ [ ( 1 , 1 , 3 ),( 0 , 1 , 2 ),( 1 , 3 , 7 ),( 0 , 1 , 2 ) ] = [ ( 1 , 1 , 3 ),( 0 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] $
viene che la dimensione è 2, concludendo che quindi sono lo stesso sottospazio.
Ho trovato questo esercizio nelle esercitazioni dell'assistente del professore, quindi dovrebbe essere giusto.. eppure non ne sono convinta.
Mi confermate che è giusto? Avete altri esercizi così?
Risposte
Applica Gauss-Jordan alle tre matrici e scoprirai che la A e la B hanno rango 2 e le prime due colonne di queste matrici generano i rispettivi spazi delle colonne di dimensione 2. Mentre C ha rango 3, quindi si può escludere.
Finora abbiamo provato solo che gli spazi delle colonne di A e B hanno la medesima dimensione e sono due piani.
Ma la domanda è "sono il medesimo piano in $R^3$?
Il modo più semplice per provarlo è fare i due prodotti vettoriali delle prima due colonne di A e B e scoprirai che effettivamente i due spazi sono il medesimo piano.
Oppure, puoi fare le trasposte delle due matrici e trovare lo spazio nullo sinistro...e scoprirai che è il medesimo.
Finora abbiamo provato solo che gli spazi delle colonne di A e B hanno la medesima dimensione e sono due piani.
Ma la domanda è "sono il medesimo piano in $R^3$?
Il modo più semplice per provarlo è fare i due prodotti vettoriali delle prima due colonne di A e B e scoprirai che effettivamente i due spazi sono il medesimo piano.
Oppure, puoi fare le trasposte delle due matrici e trovare lo spazio nullo sinistro...e scoprirai che è il medesimo.
Perfetto grazie 
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