Spazio compatto e T2
Buongiorno, ho un quesito da porvi che mi sta bloccando da ieri. Ho X spazio topologico compatto e T2 (di Hausdorff) e mi si chiede di verificare o portare un controesempio della seguente affermazione: l'unione di una sua famiglia di compatti è compatta.
Come prima cosa ho notato che poiché X è T2 ogni suo sottinsieme compatto è chiuso e poiché X è anche compatto, ogni suo sottoinsieme chiuso è compatto. La conclusione è che un sottoinsieme di X è compatto se e solo se è chiuso.
Ora passiamo all'affermazione che devo dimostrare: sia $K = \bigcup_{i \in I} K_i$ con $K_i$ compatti allora $K$ é compatto? In pratica credo che dovremmo dimostrare che l'unione infinita di chiusi in uno spazio compatto e T2 è chiusa (cosa che in generale non è vera). Nel caso finito è ovviamente verificato. A naso mi verrebbe da dire che è vero anche se $I$ è infinito, ma non riesco a dimostrarlo!! Qualcuno ha qualche idea?
Come prima cosa ho notato che poiché X è T2 ogni suo sottinsieme compatto è chiuso e poiché X è anche compatto, ogni suo sottoinsieme chiuso è compatto. La conclusione è che un sottoinsieme di X è compatto se e solo se è chiuso.
Ora passiamo all'affermazione che devo dimostrare: sia $K = \bigcup_{i \in I} K_i$ con $K_i$ compatti allora $K$ é compatto? In pratica credo che dovremmo dimostrare che l'unione infinita di chiusi in uno spazio compatto e T2 è chiusa (cosa che in generale non è vera). Nel caso finito è ovviamente verificato. A naso mi verrebbe da dire che è vero anche se $I$ è infinito, ma non riesco a dimostrarlo!! Qualcuno ha qualche idea?
Risposte
In $RR$.
$QQ$ è unione (infinita) di singleton, che sono compatti...
EDIT: beh, sì, $RR$ non è compatto. Basta prendere $[0,1]$, come dice Sandokan (vedi sotto)
$QQ$ è unione (infinita) di singleton, che sono compatti...
EDIT: beh, sì, $RR$ non è compatto. Basta prendere $[0,1]$, come dice Sandokan (vedi sotto)
"blunotte":
Buongiorno, ho un quesito da porvi che mi sta bloccando da ieri. Ho X spazio topologico compatto e T2 (di Hausdorff) e mi si chiede di verificare o portare un controesempio della seguente affermazione: l'unione di una sua famiglia di compatti è compatta.
Ovviamente è falso: basta prendere $X = [0, 1]$ con la topologia usuale e come famiglia di compatti la famiglia dei singleton ${x}$ con $x \in (0, 1)$.
@Fioravante
Veramente si richiedeva $X$ compatto...
"Sandokan.":
@Fioravante
Veramente si richiedeva $X$ compatto...
è un dettaglio secondario
"Fioravante Patrone":
[quote="Sandokan."]
@Fioravante
Veramente si richiedeva $X$ compatto...
è un dettaglio secondario
[/quote]Già
Anche io avevo pensato a [0,1] inizialmente, ma non riuscivo a trovare una famiglia di compatti 'adatta'!! Ed era così semplice invece!! Grazie mille.. A volte anche le cose più banali hanno bisogno di spiegazioni 
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